Theorem uhgrspan1lem3 29449

Description: Lemma 3 for uhgrspan1 29450. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
uhgrspan1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem3	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ 𝐹)

Proof of Theorem uhgrspan1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩)
3		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		uhgrspan1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
6	3, 4, 5	uhgrspan1lem1 29447	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opiedgfv 29154	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V) → (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝐼 ↾ 𝐹))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝐼 ↾ 𝐹)
9	2, 8	eqtri 2784	1 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  {csn 4581  ⟨cop 4587  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  Vtxcvtx 29143  iEdgciedg 29144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-2nd 7967  df-iedg 29146

This theorem is referenced by:  uhgrspan1  29450  upgrres  29453  umgrres  29454  usgrres  29455