Theorem uhgrspan1lem3 29916

Description: Lemma 3 for uhgrspan1 29917. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
uhgrspan1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem3	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ 𝐹)

Proof of Theorem uhgrspan1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩)
3		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		uhgrspan1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
6	3, 4, 5	uhgrspan1lem1 29914	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opiedgfv 29618	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V) → (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝐼 ↾ 𝐹))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝐼 ↾ 𝐹)
9	2, 8	eqtri 2786	1 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {crab 3416  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ⟨cop 4838  dom cdm 5656   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  Vtxcvtx 29607  iEdgciedg 29608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-2nd 8029  df-iedg 29610

This theorem is used by:  uhgrspan1  29917  upgrres  29920  umgrres  29921  usgrres  29922