Theorem addcnlem 23472

Description: Lemma for addcn 23473, subcn 23474, and mulcn 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
addcn.2	⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
addcn.3	⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
addcnlem	⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.2	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		addcn.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
3	2	3coml 1123	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
4		ifcl 4511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
6		simpll1 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
7		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 23379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑏 − 𝑢)))
10		abssub 14686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑏 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
11	9, 10	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
12	6, 7, 11	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
13	12	breq1d 5076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
14	7, 6	subcld 10997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑏) ∈ ℂ)
15	14	abscld 14796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ)
16		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
20		ltmin 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
22	13, 21	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
23		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦)
24	22, 23	syl6bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦))
25		simpll2 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
26		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
27	8	cnmetdval 23379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑐 − 𝑣)))
28		abssub 14686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑐 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
29	27, 28	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
30	25, 26, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
31	30	breq1d 5076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
32	26, 25	subcld 10997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	abscld 14796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ)
34		ltmin 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
35	33, 17, 19, 34	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
36	31, 35	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
37		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)
38	36, 37	syl6bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧))
39	24, 38	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
40	1	fovcl 7279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
41	6, 25, 40	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
42	1	fovcl 7279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
43	42	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
44	8	cnmetdval 23379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))))
45		abssub 14686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
46	44, 45	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
47	41, 43, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
48	47	breq1d 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
49	48	biimprd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎 → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
50	39, 49	imim12d 81	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
51	50	ralimdvva 3179	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
52		breq2 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ↔ (𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
53		breq2 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
54	52, 53	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) ↔ ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧))))
55	54	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
56	55	2ralbidv 3199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
57	56	rspcev 3623	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
58	5, 51, 57	syl6an 682	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
59	58	rexlimdvva 3294	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
60	3, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
61	60	rgen3 3204	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)
62		cnxmet 23381	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		addcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
64	63	cnfldtopn 23390	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65	64, 64, 64	txmetcn 23158	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))))
66	62, 62, 62, 65	mp3an 1457	. 2 ⊢ ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
67	1, 61, 66	mpbir2an 709	1 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ifcif 4467   class class class wbr 5066   × cxp 5553   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℝ⁺crp 12390  abscabs 14593  TopOpenctopn 16695  ∞Metcxmet 20530  ℂ_fldccnfld 20545   Cn ccn 21832   ×_t ctx 22168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-tms 22932

This theorem is referenced by:  addcn  23473  subcn  23474  mulcn  23475