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Theorem bcm1n 29539
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 13098 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2 nnz 11396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32zcnd 11480 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 10053 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 10393 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76oveq1d 6662 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
86oveq1d 6662 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁𝐾))
96, 8oveq12d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
109oveq2d 6663 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
117, 10eqeq12d 2636 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
121, 11syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
13123impia 1260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
14133anidm13 1383 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
15 elfznn0 12429 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 11348 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19 elfzelz 12339 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2120zred 11479 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
222adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322zred 11479 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzle2 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26 zltlem1 11427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2719, 2, 26syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2825, 27mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
2921, 23, 28ltled 10182 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾𝑁)
30 elfz2nn0 12427 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32 bcrpcl 13090 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 11871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
3519zcnd 11480 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
374, 36subcld 10389 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℂ)
3836, 4negsubdi2d 10405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) = (𝑁𝐾))
3921, 23resubcld 10455 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
4039recnd 10065 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
414addid2d 10234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
4228, 41breqtrrd 4679 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43 0red 10038 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
4421, 23, 43ltsubaddd 10620 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
4542, 44mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) < 0)
4645lt0ne0d 10590 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ≠ 0)
4740, 46negne0d 10387 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) ≠ 0)
4838, 47eqnetrrd 2861 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ≠ 0)
494, 37, 48divcld 10798 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
50 bcrpcl 13090 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5251rpcnne0d 11878 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53 divmul2 10686 . . . . 5 (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5434, 49, 52, 53syl3anc 1325 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5514, 54mpbird 247 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
5655oveq2d 6663 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))))
5751rpcnd 11871 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58 bccl2 13105 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
5931, 58syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
6059nnne0d 11062 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61 bccl2 13105 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
6261nnne0d 11062 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6362adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6434, 57, 60, 63recdivd 10815 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
6517nnne0d 11062 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
664, 37, 65, 48recdivd 10815 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
6756, 64, 663eqtr3d 2663 1 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cc 9931  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938   < clt 10071  cle 10072  cmin 10263  -cneg 10264   / cdiv 10681  cn 11017  0cn0 11289  cz 11374  +crp 11829  ...cfz 12323  Ccbc 13084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-seq 12797  df-fac 13056  df-bc 13085
This theorem is referenced by:  ballotlem2  30535
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