MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0d 11995
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11988 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 11991 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 555 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103  wne 2896  cc 10047  0cc0 10049  +crp 11946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-rp 11947
This theorem is referenced by:  expcnv  14716  mertenslem1  14736  divgcdcoprm0  15502  ovolscalem1  23402  aalioulem2  24208  aalioulem3  24209  dvsqrt  24603  cxpcn3lem  24608  relogbval  24630  relogbcl  24631  nnlogbexp  24639  divsqrtsumlem  24826  logexprlim  25070  2lgslem3b  25242  2lgslem3c  25243  2lgslem3d  25244  chebbnd1lem3  25280  chebbnd1  25281  chtppilimlem1  25282  chtppilimlem2  25283  chebbnd2  25286  chpchtlim  25288  chpo1ub  25289  rplogsumlem1  25293  rplogsumlem2  25294  rpvmasumlem  25296  dchrvmasumlem1  25304  dchrvmasum2lem  25305  dchrvmasumlem2  25307  dchrisum0fno1  25320  dchrisum0lem1b  25324  dchrisum0lem1  25325  dchrisum0lem2a  25326  dchrisum0lem2  25327  dchrisum0lem3  25328  rplogsum  25336  mulogsum  25341  mulog2sumlem1  25343  selberglem1  25354  pntrmax  25373  pntpbnd1a  25394  pntibndlem2  25400  pntlemc  25404  pntlemb  25406  pntlemn  25409  pntlemr  25411  pntlemj  25412  pntlemf  25414  pntlemk  25415  pntlemo  25416  pnt2  25422  bcm1n  29784  jm2.21  37980  stoweidlem25  40662  stoweidlem42  40679  wallispilem4  40705  stirlinglem10  40720  fourierdlem39  40783  lighneallem3  41951  dignn0flhalflem1  42836  dignn0flhalflem2  42837
  Copyright terms: Public domain W3C validator