MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0d 11825
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11818 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 11821 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 554 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  wne 2796  cc 9879  0cc0 9881  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  expcnv  14516  mertenslem1  14536  divgcdcoprm0  15298  ovolscalem1  23183  aalioulem2  23987  aalioulem3  23988  dvsqrt  24378  cxpcn3lem  24383  relogbval  24405  relogbcl  24406  nnlogbexp  24414  divsqrtsumlem  24601  logexprlim  24845  2lgslem3b  25017  2lgslem3c  25018  2lgslem3d  25019  chebbnd1lem3  25055  chebbnd1  25056  chtppilimlem1  25057  chtppilimlem2  25058  chebbnd2  25061  chpchtlim  25063  chpo1ub  25064  rplogsumlem1  25068  rplogsumlem2  25069  rpvmasumlem  25071  dchrvmasumlem1  25079  dchrvmasum2lem  25080  dchrvmasumlem2  25082  dchrisum0fno1  25095  dchrisum0lem1b  25099  dchrisum0lem1  25100  dchrisum0lem2a  25101  dchrisum0lem2  25102  dchrisum0lem3  25103  rplogsum  25111  mulogsum  25116  mulog2sumlem1  25118  selberglem1  25129  pntrmax  25148  pntpbnd1a  25169  pntibndlem2  25175  pntlemc  25179  pntlemb  25181  pntlemn  25184  pntlemr  25186  pntlemj  25187  pntlemf  25189  pntlemk  25190  pntlemo  25191  pnt2  25197  bcm1n  29387  jm2.21  37027  stoweidlem25  39536  stoweidlem42  39553  wallispilem4  39579  stirlinglem10  39594  fourierdlem39  39657  lighneallem3  40811  dignn0flhalflem1  41675  dignn0flhalflem2  41676
  Copyright terms: Public domain W3C validator