Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccp1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccp1k 38043
Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccp1k (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 fallfacp1 14689 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
41, 2, 3syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
5 facp1 13008 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
74, 6oveq12d 6625 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8 peano2nn0 11280 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
101, 9bccval 38040 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11 fallfaccl 14675 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
121, 2, 11syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13 faccl 13013 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1514nncnd 10983 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
162nn0cnd 11300 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
171, 16subcld 10339 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
189nn0cnd 11300 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11012 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20 nn0p1nn 11279 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11012 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
2312, 15, 17, 18, 19, 22divmuldivd 10789 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
247, 10, 233eqtr4d 2665 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
251, 2bccval 38040 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
2625oveq1d 6622 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
2724, 26eqtr4d 2658 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888  cmin 10213   / cdiv 10631  cn 10967  0cn0 11239  !cfa 13003   FallFac cfallfac 14663  C𝑐cbcc 38038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-prod 14564  df-fallfac 14666  df-bcc 38039
This theorem is referenced by:  bccm1k  38044  bccn1  38046  binomcxplemfrat  38053  binomcxplemnotnn0  38058
  Copyright terms: Public domain W3C validator