Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpo1ub 25368
 Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 11282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2 elicopnf 12462 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4 chtrpcl 25100 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
53, 4sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
65rpcnne0d 12074 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
73simplbi 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 10233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 11304 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
123simprbi 483 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
138, 9, 7, 11, 12ltletrd 10389 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
147, 13elrpd 12062 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1514rpcnne0d 12074 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
16 rpre 12032 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
17 chpcl 25049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
1918recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
21 dmdcan 10927 . . . . . . . 8 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (ψ‘𝑥) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
226, 15, 20, 21syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
2322adantl 473 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
2423mpteq2dva 4896 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
25 ovexd 6843 . . . . . 6 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
26 ovexd 6843 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
27 ovexd 6843 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
28 eqidd 2761 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
29 eqidd 2761 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
3025, 26, 27, 28, 29offval2 7079 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))))
3114ssriv 3748 . . . . . 6 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
32 resmpt 5607 . . . . . 6 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
3331, 32mp1i 13 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
3424, 30, 333eqtr4rd 2805 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))))
3531a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
36 chto1ub 25364 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
3835, 37o1res2 14493 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
39 chpchtlim 25367 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
40 rlimo1 14546 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
42 o1mul 14544 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4338, 41, 42sylancl 697 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4434, 43eqeltrd 2839 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
45 rerpdivcl 12054 . . . . . . . 8 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
4618, 45mpancom 706 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 10260 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
4847adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
49 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
5048, 49fmptd 6548 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)):ℝ+⟶ℂ)
51 rpssre 12036 . . . . 5 + ⊆ ℝ
5251a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
531a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
5450, 52, 53o1resb 14496 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
5544, 54mpbird 247 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
5655trud 1642 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  +∞cpnf 10263   < clt 10266   ≤ cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  ℝ+crp 12025  [,)cico 12370   ⇝𝑟 crli 14415  𝑂(1)co1 14416  θccht 25016  ψcchp 25018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-o1 14420  df-lo1 14421  df-sum 14616  df-ef 14997  df-e 14998  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-cht 25022  df-vma 25023  df-chp 25024  df-ppi 25025 This theorem is referenced by:  chpo1ubb  25369  vmadivsum  25370  selberg2lem  25438  pntrmax  25452  pntrsumo1  25453  pntrlog2bndlem2  25466
 Copyright terms: Public domain W3C validator