MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpo1ub 24886
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2 elicopnf 12096 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
4 chtrpcl 24618 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
53, 4sylbi 205 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
65rpcnne0d 11713 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
73simplbi 474 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 9897 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ)
10 2pos 10959 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 2)
123simprbi 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
138, 9, 7, 11, 12ltletrd 10048 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 0 < 𝑥)
147, 13elrpd 11701 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1514rpcnne0d 11713 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
16 rpre 11671 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
17 chpcl 24567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℝ)
1918recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
2014, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (ψ‘𝑥) ∈ ℂ)
21 dmdcan 10584 . . . . . . . 8 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (ψ‘𝑥) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
226, 15, 20, 21syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
2322adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
2423mpteq2dva 4666 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
25 ovex 6555 . . . . . . 7 (2[,)+∞) ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
27 ovex 6555 . . . . . . 7 ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
29 ovex 6555 . . . . . . 7 ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
31 eqidd 2610 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
32 eqidd 2610 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))))
3326, 28, 30, 31, 32offval2 6789 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))))
3414ssriv 3571 . . . . . 6 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
35 resmpt 5356 . . . . . 6 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
3634, 35mp1i 13 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)))
3724, 33, 363eqtr4rd 2654 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))))
3834a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
39 chto1ub 24882 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
4039a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
4138, 40o1res2 14088 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
42 chpchtlim 24885 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1
43 rlimo1 14141 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
45 o1mul 14139 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4641, 44, 45sylancl 692 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ψ‘𝑥) / (θ‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4737, 46eqeltrd 2687 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
48 rerpdivcl 11693 . . . . . . . 8 (((ψ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
4918, 48mpancom 699 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
5049recnd 9924 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
5150adantl 480 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ψ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
52 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥))
5351, 52fmptd 6277 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)):ℝ+⟶ℂ)
54 rpssre 11675 . . . . 5 + ⊆ ℝ
5554a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
561a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
5753, 55, 56o1resb 14091 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
5847, 57mpbird 245 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
5958trud 1483 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cres 5030  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  +∞cpnf 9927   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  2c2 10917  +crp 11664  [,)cico 12004  𝑟 crli 14010  𝑂(1)co1 14011  θccht 24534  ψcchp 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-o1 14015  df-lo1 14016  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025  df-cht 24540  df-vma 24541  df-chp 24542  df-ppi 24543
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  24887  vmadivsum  24888  selberg2lem  24956  pntrmax  24970  pntrsumo1  24971  pntrlog2bndlem2  24984
  Copyright terms: Public domain W3C validator