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Theorem rrxcph 23088
Description: Generalized Euclidean real spaces are pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23083 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2621 . . 3 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2621 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2621 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 19871 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
8 remulr 19876 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
9 eqid 2621 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2621 . . . 4 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 19877 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
12 refldcj 19885 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
13 refld 19884 . . . . 5 fld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5123 . . . . 5 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 20023 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
17 ffn 6002 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐼⟶ℝ → 𝑓 Fn 𝐼)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19183adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
20 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝐼𝑉)
2113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ℝfld ∈ Field)
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
236, 7, 8, 4, 9frlmipval 20037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
2420, 21, 22, 22, 23syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
25 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ V)
27 inidm 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝐼) = 𝐼
28 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
2918, 18, 20, 20, 27, 28, 28offval 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥))))
3018, 18, 20, 20, 27, 28, 28ofval 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3116ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
3231, 31remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
3330, 32eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) ∈ ℝ)
3426, 29, 33fmpt2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
35 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V)
37 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ → Fun (𝑓𝑓 · 𝑓))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Fun (𝑓𝑓 · 𝑓))
396, 11, 4frlmbasfsupp 20021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 finSupp 0)
40 0red 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ∈ ℝ)
41 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4241recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4342mul02d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
4420, 40, 16, 16, 43suppofss1d 7277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))
45 fsuppsssupp 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓𝑓 · 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
4636, 38, 39, 44, 45syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
47 regsumsupp 19887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
4834, 46, 20, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
49 suppssdm 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
50 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐼⟶ℝ → dom 𝑓 = 𝐼)
5116, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → dom 𝑓 = 𝐼)
5249, 51syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
5344, 52sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼)
5453sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 𝑥𝐼)
5554, 30syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5655sumeq2dv 14367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5748, 56eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5824, 57eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
59583adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
60 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
6159, 60eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6239fsuppimpd 8226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
63 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
6462, 44, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
6554, 32syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
6631msqge0d 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6754, 66syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6864, 65, 67fsum00 14457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
69683adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
7061, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
7170r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
7271adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
73313adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7473recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
7574, 74mul0ord 10621 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7675adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7772, 76mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0))
78 oridm 536 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
7977, 78sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (𝑓𝑥) = 0)
80343adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
8180adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
82 ssid 3603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))
84 simpl1 1062 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
85 0red 9985 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ ℝ)
8681, 83, 84, 85suppssr 7271 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0)
87303adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
8887eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
8988, 75bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
9089, 78syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
9190biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0) → (𝑓𝑥) = 0)
9286, 91syldan 487 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → (𝑓𝑥) = 0)
93 undif 4021 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
9453, 93sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
9594eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
96953adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
9796biimpar 502 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
98 elun 3731 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
9997, 98sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
10079, 92, 99mpjaodan 826 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0)
101100ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0)
102 fconstfv 6430 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0))
103 c0ex 9978 . . . . . . . 8 0 ∈ V
104103fconst2 6424 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {0}))
105102, 104sylbb1 227 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
10619, 101, 105syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
107 isfld 18677 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
10813, 107mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
109108simpli 474 . . . . . . . . 9 fld ∈ DivRing
110 drngring 18675 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
1126, 11frlm0 20017 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
113111, 112mpan 705 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11415, 113syl5reqr 2670 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
1151143ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
11615, 106, 1153eqtr4a 2681 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
117 cjre 13813 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
118117adantl 482 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
119 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1206, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 116, 118, 119frlmphl 20039 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
121 df-refld 19870 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
1226frlmsca 20016 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
12313, 122mpan 705 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
124121, 123syl5reqr 2670 . . 3 (𝐼𝑉 → (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℂflds ℝ))
125 simpr1 1065 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
126 simpr3 1067 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 0 ≤ 𝑓)
127125, 126resqrtcld 14090 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → (√‘𝑓) ∈ ℝ)
12864, 65, 67fsumge0 14454 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
129128, 57breqtrrd 4641 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
130129, 24breqtrrd 4641 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1313, 4, 5, 120, 124, 9, 127, 130tchcph 22944 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ ℂPreHil)
1322, 131eqeltrd 2698 1 (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  cle 10019  ccj 13770  Σcsu 14350  Basecbs 15781  s cress 15782  Scalarcsca 15865  ·𝑖cip 15867  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  DivRingcdr 18668  Fieldcfield 18669  fldccnfld 19665  fldcrefld 19869   freeLMod cfrlm 20009  ℂPreHilccph 22874  toℂHilctch 22875  ℝ^crrx 23079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-field 18671  df-subrg 18699  df-abv 18738  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-refld 19870  df-phl 19890  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-tng 22299  df-nrg 22300  df-nlm 22301  df-clm 22771  df-cph 22876  df-tch 22877  df-rrx 23081
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