Theorem cldss 20743

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 20740	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 20741	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 652	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 702	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ∪ cuni 4402  ‘cfv 5847  Topctop 20617  Clsdccld 20730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855  df-top 20621  df-cld 20733

This theorem is referenced by:  cldss2  20744  iincld  20753  uncld  20755  cldcls  20756  iuncld  20759  clsval2  20764  clsss3  20773  clsss2  20786  opncldf1  20798  restcldr  20888  lmcld  21017  nrmsep2  21070  nrmsep  21071  isnrm2  21072  regsep2  21090  cmpcld  21115  dfconn2  21132  conncompclo  21148  cldllycmp  21208  txcld  21316  ptcld  21326  imasncld  21404  kqcldsat  21446  kqnrmlem1  21456  kqnrmlem2  21457  nrmhmph  21507  ufildr  21645  metnrmlem1a  22569  metnrmlem1  22570  metnrmlem2  22571  metnrmlem3  22572  cnheiborlem  22661  cmetss  23021  bcthlem5  23033  cldssbrsiga  30028  clsun  31962  cldregopn  31965  mblfinlem3  33077  mblfinlem4  33078  ismblfin  33079  cmpfiiin  36737  kelac1  37110  stoweidlem18  39539  stoweidlem57  39578