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Theorem aalioulem3 24134
Description: Lemma for aaliou 24138. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑟   𝑥,𝐴,𝑟   𝑥,𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑟)

Proof of Theorem aalioulem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.d . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 resubcl 10383 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5 peano2re 10247 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7 reelprrecn 10066 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8 ssid 3657 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
9 fncpn 23741 . . . . . . . . 9 (ℂ ⊆ ℂ → (Cn‘ℂ) Fn ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Cn‘ℂ) Fn ℕ0
11 1nn0 11346 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
12 fnfvelrn 6396 . . . . . . . 8 (((Cn‘ℂ) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ))
1310, 11, 12mp2an 708 . . . . . . 7 ((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ)
14 intss1 4524 . . . . . . 7 (((Cn‘ℂ)‘1) ∈ ran (Cn‘ℂ) → ran (Cn‘ℂ) ⊆ ((Cn‘ℂ)‘1))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 ran (Cn‘ℂ) ⊆ ((Cn‘ℂ)‘1)
16 aalioulem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
17 plycpn 24089 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹 ran (Cn‘ℂ))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ran (Cn‘ℂ))
1915, 18sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘1))
20 cpnres 23745 . . . . 5 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘1)) → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((Cn‘ℝ)‘1))
217, 19, 20sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ ((Cn‘ℝ)‘1))
22 df-ima 5156 . . . . 5 (𝐹 “ ℝ) = ran (𝐹 ↾ ℝ)
23 zssre 11422 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
24 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
25 plyss 24000 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ))
2623, 24, 25mp2an 708 . . . . . . . 8 (Poly‘ℤ) ⊆ (Poly‘ℝ)
2726, 16sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
28 plyreres 24083 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
30 frn 6091 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3222, 31syl5eqss 3682 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) ⊆ ℝ)
33 iccssre 12293 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
344, 6, 33syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℝ)
3534, 24syl6ss 3648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ ℂ)
36 plyf 23999 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3716, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
38 fdm 6089 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
4035, 39sseqtr4d 3675 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
414, 6, 21, 32, 40c1lip3 23807 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))))
42 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℝ)
4342recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
441adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
45443ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4645recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4743, 46abssubd 14236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
48 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1)
4947, 48eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1)
50 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
51 elicc4abs 14103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5245, 50, 42, 51syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝑟𝐴)) ≤ 1))
5349, 52mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
541recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5554subidd 10418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
5655fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) = (abs‘0))
57 abs0 14069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘0) = 0
58 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
5957, 58eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘0) ≤ 1
6056, 59syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1)
61 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
62 elicc4abs 14103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
631, 61, 1, 62syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) ≤ 1))
6460, 63mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
66653ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)))
67 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑟))
6867oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))))
70 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝑐𝑏) = (𝑐𝑟))
7170fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑐𝑟)))
7271oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑟 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) = (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))))
7369, 72breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) ↔ (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟)))))
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟)) = ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟)))
7675fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))))
77 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝐴 → (𝑐𝑟) = (𝐴𝑟))
7877fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐴 → (abs‘(𝑐𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
7978oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐴 → (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) = (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
8076, 79breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐴 → ((abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑟))) ↔ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
8173, 80rspc2v 3353 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1)) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
8253, 66, 81syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
83 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝜑)
84 aalioulem3.e . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) = 0)
86 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
8785, 86syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
8837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
89883ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9089, 43ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
9187, 90abssubd 14236 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))))
9285oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑟) − 0))
9390subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − 0) = (𝐹𝑟))
9492, 93eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴)) = (𝐹𝑟))
9594fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝑟) − (𝐹𝐴))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9691, 95eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) = (abs‘(𝐹𝑟)))
9796breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑟))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
9882, 97sylibd 229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
99983exp 1283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
10099com34 91 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
101100com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → (𝑟 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))))
102101ralrimdv 2997 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
103102reximdva 3046 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))∀𝑐 ∈ ((𝐴 − 1)[,](𝐴 + 1))(abs‘((𝐹𝑐) − (𝐹𝑏))) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝑐𝑏))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))))
105 1rp 11874 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
106105a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = 0) → 1 ∈ ℝ+)
107 recn 10064 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
108107adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
109 df-ne 2824 . . . . . . . 8 (𝑎 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑎 = 0)
110109biimpri 218 . . . . . . 7 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
111 absrpcl 14072 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
112108, 110, 111syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
113112rpreccld 11920 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (1 / (abs‘𝑎)) ∈ ℝ+)
114106, 113ifclda 4153 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+)
115 eqid 2651 . . . . . . . . 9 if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎)))
116 eqif 4159 . . . . . . . . 9 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ↔ ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))))
117115, 116mpbi 220 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))))
118 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
119 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = (0 · (abs‘(𝐴𝑟))))
1211ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐴 ∈ ℝ)
122 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℝ)
123121, 122resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
124123recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
125124abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
126125recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℂ)
128127mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (0 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
129120, 128eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) = 0)
130118, 129breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0)
13137ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
132122recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑟 ∈ ℂ)
133131, 132ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐹𝑟) ∈ ℂ)
135134absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))
136133abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
138 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
139 letri3 10161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
140137, 138, 139sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) = 0 ↔ ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑟)))))
141130, 135, 140mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) = 0)
142141oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · 0))
143 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
144143mul01i 10264 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 0) = 0
145142, 144syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) = 0)
146124adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
147146absge0d 14227 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
148145, 147eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
149 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = (1 · (abs‘(𝐹𝑟))))
150149breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (1 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
151148, 150syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
152151expimpd 628 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
153136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℝ)
154153recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ)
155 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
156155recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
157156, 111sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ+)
158157rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0))
159 divrec2 10740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
1601593expb 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑟)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑎) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ≠ 0)) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
161154, 158, 160syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
162 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
163162, 125remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
164162recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ∈ ℂ)
165164abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
166165, 125remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))) ∈ ℝ)
167 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))
168124absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
169 leabs 14083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
170169ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
171162, 165, 125, 168, 170lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
172136, 163, 166, 167, 171letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
173172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟))))
174125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ)
175153, 174, 157ledivmuld 11963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐴𝑟)))))
176173, 175mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘(𝐹𝑟)) / (abs‘𝑎)) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
177161, 176eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
178109, 177sylan2br 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
179 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) = ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))))
180179breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ ((1 / (abs‘𝑎)) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
181178, 180syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
182181expimpd 628 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → ((¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
183152, 182jaod 394 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (((𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = 1) ∨ (¬ 𝑎 = 0 ∧ if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) = (1 / (abs‘𝑎)))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
184117, 183mpi 20 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
185184expr 642 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟))) → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
186185imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
187186ralimdva 2991 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
188 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) = (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))))
189188breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
190189imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
191190ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
192191rspcev 3340 . . . 4 ((if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (if(𝑎 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑎))) · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
193114, 187, 192syl6an 567 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
194193rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (abs‘(𝐹𝑟)) ≤ (𝑎 · (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
195104, 194mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴𝑟)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹𝑟))) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119  {cpr 4212   cint 4507   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  [,]cicc 12216  abscabs 14018  Cnccpn 23674  Polycply 23985  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677  df-cpn 23678  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
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