Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcof 23612
 Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.t (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcof.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvcof.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcof.dg (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcof (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvcof
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvcof.df . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 23567 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
53, 4syl6eqssr 3640 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑋𝑆)
7 dvcof.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐺:𝑌𝑋)
9 dvcof.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)
10 dvbsss 23567 . . . . . 6 dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑇
119, 10syl6eqssr 3640 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑌𝑇)
13 dvcof.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvcof.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
177ffvelrnda 6316 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑋)
183adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
1917, 18eleqtrrd 2707 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
209eleq2d 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑌))
2120biimpar 502 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
222, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21dvco 23611 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
2322mpteq2dva 4709 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥)) = (𝑥𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
24 dvfg 23571 . . . . 5 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ)
26 recnprss 23569 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
2715, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
28 fco 6017 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
291, 7, 28syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
3027, 29, 11dvbss 23566 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹𝐺)) ⊆ 𝑌)
31 recnprss 23569 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3214, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3316, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑇 ⊆ ℂ)
34 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
36 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
38 dvfg 23571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
39 ffun 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40 funfvbrb 6287 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
4114, 38, 39, 404syl 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
4219, 41mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)))
43 dvfg 23571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
44 ffun 6007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
45 funfvbrb 6287 . . . . . . . . . . . 12 (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
4616, 43, 44, 454syl 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
4721, 46mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))
48 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
492, 6, 8, 12, 32, 33, 35, 37, 42, 47, 48dvcobr 23610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥(𝑇 D (𝐹𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
50 reldv 23535 . . . . . . . . . 10 Rel (𝑇 D (𝐹𝐺))
5150releldmi 5326 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝑇 D (𝐹𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹𝐺)))
5249, 51syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹𝐺)))
5352ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑌𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹𝐺))))
5453ssrdv 3594 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ dom (𝑇 D (𝐹𝐺)))
5530, 54eqssd 3605 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹𝐺)) = 𝑌)
5655feq2d 5990 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑇 D (𝐹𝐺)):𝑌⟶ℂ))
5725, 56mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)):𝑌⟶ℂ)
5857feqmptd 6207 . 2 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥)))
5915, 11ssexd 4770 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
607feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑌 ↦ (𝐺𝑥)))
6113, 38syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
623feq2d 5990 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
6361, 62mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6463feqmptd 6207 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦)))
65 fveq2 6150 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦) = ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)))
6617, 60, 64, 65fmptco 6352 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
6715, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
689feq2d 5990 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ))
6967, 68mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ)
7069feqmptd 6207 . . 3 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
7159, 35, 37, 66, 70offval2 6868 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)) = (𝑥𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
7223, 58, 713eqtr4d 2670 1 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ⊆ wss 3560  {cpr 4155   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079   ∘ ccom 5083  Fun wfun 5844  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ∘𝑓 cof 6849  ℂcc 9879  ℝcr 9880   · cmul 9886  TopOpenctopn 15998  ℂfldccnfld 19660   D cdv 23528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532 This theorem is referenced by:  dvmptco  23636  dvsinax  39419  dvcosax  39434
 Copyright terms: Public domain W3C validator