MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyaddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dyaddisjlem 23264
Description: Lemma for dyaddisj 23265. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
43dyadval 23261 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
51, 2, 4syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴𝐹𝐶) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
65fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
7 df-ov 6608 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ((,)‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
86, 7syl6eqr 2678 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9 simpllr 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ0)
113dyadval 23261 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵𝐹𝐷) = ⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
1312fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
14 df-ov 6608 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ((,)‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
1513, 14syl6eqr 2678 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((,)‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
168, 15ineq12d 3798 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
17 incom 3788 . . . . . 6 (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
1816, 17syl6eq 2676 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
1918adantr 481 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))))
201zred 11426 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 2nn 11130 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
23 nnexpcl 12810 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
2422, 2, 23sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℕ)
2524nncnd 10981 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐶) ∈ ℂ)
26 nnexpcl 12810 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
2722, 10, 26sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℕ)
2827nncnd 10981 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℂ)
2924nnne0d 11010 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐶) ≠ 0)
3021, 25, 28, 29div13d 10770 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴))
31 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 2 ∈ ℂ)
32 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 2 ≠ 0)
342nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
3510nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
3631, 33, 34, 35expsubd 12956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑(𝐷𝐶)) = ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)))
37 2z 11354 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
39 znn0sub 11369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐷𝐶) ∈ ℕ0))
4034, 35, 39syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐶𝐷 ↔ (𝐷𝐶) ∈ ℕ0))
4138, 40mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐷𝐶) ∈ ℕ0)
42 zexpcl 12812 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐷𝐶)) ∈ ℤ)
4337, 41, 42sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑(𝐷𝐶)) ∈ ℤ)
4436, 43eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) ∈ ℤ)
4544, 1zmulcld 11432 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · 𝐴) ∈ ℤ)
4630, 45eqeltrd 2704 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
47 zltp1le 11372 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
489, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
499zred 11426 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐵 ∈ ℝ)
5020, 24nndivred 11014 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
5127nnred 10980 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (2↑𝐷) ∈ ℝ)
5227nngt0d 11009 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → 0 < (2↑𝐷))
53 ltdivmul2 10845 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1327 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
55 peano2re 10154 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5649, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
57 ledivmul2 10847 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1327 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ ((𝐴 / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
5948, 54, 583bitr4d 300 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))))
6049, 27nndivred 11014 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
6160rexrd 10034 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
6256, 27nndivred 11014 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
6362rexrd 10034 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)
6450rexrd 10034 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
65 peano2re 10154 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6620, 65syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6766, 24nndivred 11014 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
6867rexrd 10034 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)
69 ioodisj 12241 . . . . . . . 8 (((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
7069ex 450 . . . . . . 7 ((((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*)) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
7259, 71sylbid 230 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶)) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅))
7372imp 445 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ∩ ((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) = ∅)
7419, 73eqtrd 2660 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
75743mix3d 1236 . 2 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < (𝐴 / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
7650adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
7767adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
78 simprl 793 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)))
7966recnd 10013 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
8079, 25, 28, 29div13d 10770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) = (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)))
811peano2zd 11429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
8244, 81zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((2↑𝐷) / (2↑𝐶)) · (𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
8380, 82eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ)
84 zltp1le 11372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
859, 83, 84syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
86 ltdivmul2 10845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
8749, 67, 51, 52, 86syl112anc 1327 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ 𝐵 < (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
88 ledivmul2 10847 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐷))) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
8956, 67, 51, 52, 88syl112anc 1327 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ (𝐵 + 1) ≤ (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) · (2↑𝐷))))
9085, 87, 893bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ↔ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9190biimpa 501 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
9291adantrl 751 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))
93 iccss 12180 . . . . . . 7 ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9476, 77, 78, 92, 93syl22anc 1324 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) ⊆ ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
9512fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩))
96 df-ov 6608 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))) = ([,]‘⟨(𝐵 / (2↑𝐷)), ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))⟩)
9795, 96syl6eqr 2678 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
9897adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) = ((𝐵 / (2↑𝐷))[,]((𝐵 + 1) / (2↑𝐷))))
995fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩))
100 df-ov 6608 . . . . . . . 8 ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐶)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))⟩)
10199, 100syl6eqr 2678 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
102101adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) = ((𝐴 / (2↑𝐶))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))))
10394, 98, 1023sstr4d 3632 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)))
1041033mix2d 1235 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
105104anassrs 679 . . 3 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ (𝐵 / (2↑𝐷)) < ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
10616adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))))
107 ioodisj 12241 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
108107ex 450 . . . . . . . 8 ((((𝐴 / (2↑𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)) ∈ ℝ*)) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
10964, 68, 61, 63, 108syl22anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷)) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅))
110109imp 445 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((𝐴 / (2↑𝐶))(,)((𝐴 + 1) / (2↑𝐶))) ∩ ((𝐵 / (2↑𝐷))(,)((𝐵 + 1) / (2↑𝐷)))) = ∅)
111106, 110eqtrd 2660 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅)
1121113mix3d 1236 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
113112adantlr 750 . . 3 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
11460adantr 481 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (𝐵 / (2↑𝐷)) ∈ ℝ)
11567adantr 481 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐶)) ∈ ℝ)
116105, 113, 114, 115ltlecasei 10090 . 2 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) ∧ (𝐴 / (2↑𝐶)) ≤ (𝐵 / (2↑𝐷))) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
11775, 116, 60, 50ltlecasei 10090 1 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐶𝐷) → (([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ⊆ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ∨ ([,]‘(𝐵𝐹𝐷)) ⊆ ([,]‘(𝐴𝐹𝐶)) ∨ (((,)‘(𝐴𝐹𝐶)) ∩ ((,)‘(𝐵𝐹𝐷))) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cin 3559  wss 3560  c0 3896  cop 4159   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-ioo 12118  df-icc 12121  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  dyaddisj  23265
  Copyright terms: Public domain W3C validator