Theorem nnexpcl 13443

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11643	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 11662	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11649	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13441	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  digit1  13599  nnexpcld  13607  faclbnd4lem3  13656  faclbnd5  13659  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  climcnds  15206  harmonic  15214  geo2sum  15229  geo2lim  15231  ege2le3  15443  eftlub  15462  ef01bndlem  15537  phiprmpw  16113  pcdvdsb  16205  pcmptcl  16227  pcfac  16235  pockthi  16243  prmreclem3  16254  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  modxai  16404  1259lem5  16468  2503lem3  16472  4001lem4  16477  ovollb2lem  24089  ovoliunlem1  24103  ovoliunlem3  24105  dyadf  24192  dyadovol  24194  dyadss  24195  dyaddisjlem  24196  dyadmaxlem  24198  opnmbllem  24202  mbfi1fseqlem1  24316  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  mbfi1fseqlem5  24320  mbfi1fseqlem6  24321  aalioulem1  24921  aaliou2b  24930  aaliou3lem9  24939  log2cnv  25522  log2tlbnd  25523  log2ublem1  25524  log2ublem2  25525  log2ub  25527  zetacvg  25592  vmappw  25693  sgmnncl  25724  dvdsppwf1o  25763  0sgmppw  25774  1sgm2ppw  25776  vmasum  25792  mersenne  25803  perfect1  25804  perfectlem1  25805  perfectlem2  25806  perfect  25807  pcbcctr  25852  bclbnd  25856  bposlem2  25861  bposlem6  25865  bposlem8  25867  chebbnd1lem1  26045  rplogsumlem2  26061  ostth2lem3  26211  ostth3  26214  oddpwdc  31612  tgoldbachgt  31934  faclim2  32980  opnmbllem0  34943  heiborlem3  35106  heiborlem5  35108  heiborlem6  35109  heiborlem7  35110  heiborlem8  35111  heibor  35114  expgcd  39232  hoicvrrex  42887  ovnsubaddlem2  42902  ovolval5lem1  42983  fmtnoprmfac2lem1  43777  fmtno4prm  43786  perfectALTVlem1  43935  perfectALTVlem2  43936  perfectALTV  43937  bgoldbachlt  44027  tgblthelfgott  44029  tgoldbachlt  44030  blenpw2  44687  nnpw2pb  44696  nnolog2flm1  44699