MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnz1 11236
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnnz1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnz1
StepHypRef Expression
1 nnz 11232 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 nnge1 10893 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
31, 2jca 552 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
4 0lt1 10399 . . . . 5 0 < 1
5 zre 11214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 0re 9896 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ltletr 9980 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
96, 7, 8mp3an12 1405 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
114, 10mpani 707 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
1211imdistani 721 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
13 elnnz 11220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1412, 13sylibr 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
153, 14impbii 197 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-z 11211
This theorem is referenced by:  znnnlt1  11237  nnzrab  11238  eluz2b2  11593  elfznn  12196  flge1nn  12439  gcdcllem3  15007  4sqlem11  15443  ovolunlem1a  22988  ovoliunlem1  22994  ppinncl  24617  bcmono  24719  zabsle1  24738  gausslemma2dlem1a  24807  gausslemma2dlem4  24811  axlowdimlem16  25555  nndiffz1  28742  poimirlem7  32382  fz1eqin  36146  lzenom  36147  dirkertrigeqlem3  38790
  Copyright terms: Public domain W3C validator