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Theorem dirkertrigeqlem3 39624
Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeqlem3.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
dirkertrigeqlem3.a 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem3 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeqlem3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π)
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
32oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
4 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
54zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
8 dirkertrigeqlem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
98zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 10mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
12 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12addcld 10003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
14 picn 24115 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → π ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · π) ∈ ℂ)
176, 16mulcomd 10005 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · (((2 · 𝐾) + 1) · π)) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛))
1813, 15, 6mulassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)))
1915, 6mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
2011, 12, 19adddird 10009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) + 1) · (π · 𝑛)) = (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))))
2111, 19mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
2212, 19mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) ∈ ℂ)
2321, 22addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))))
2414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → π ∈ ℂ)
2524, 5mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
2625mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · (π · 𝑛)) = (π · 𝑛))
287, 10, 15, 6mul4d 10192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)))
297, 15mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
3010, 6mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · π) · (𝐾 · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
3228, 31eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) = ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))
3327, 32oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (π · 𝑛)) + ((2 · 𝐾) · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3423, 33eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((2 · 𝐾) · (π · 𝑛)) + (1 · (π · 𝑛))) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3518, 20, 343eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) · 𝑛) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
363, 17, 353eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) = ((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π))))
3736fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))))
388adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
394adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4038, 39zmulcld 11432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ)
41 cosper 24138 . . . . . . . . . 10 (((π · 𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝐾 · 𝑛) ∈ ℤ) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
4219, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘((π · 𝑛) + ((𝐾 · 𝑛) · (2 · π)))) = (cos‘(π · 𝑛)))
4337, 42eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) = (cos‘(π · 𝑛)))
4443sumeq2dv 14367 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)))
4544oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))))
4645oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
4746adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
48 dirkertrigeqlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4948nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
50 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
51 2ne0 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5349, 50, 52divcan2d 10747 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
5453eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
5554oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) = (1...(2 · (𝑁 / 2))))
5655sumeq1d 14365 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)))
5814a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → π ∈ ℂ)
59 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℤ)
6059zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6158, 60mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
6261fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
6362rgen 2917 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ∀𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
6564sumeq2d 14366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)))
66 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) = 0)
6748nnred 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
69 2rp 11781 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
70 mod0 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
7168, 69, 70sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
7266, 71mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
73 2re 11034 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7548nngt0d 11008 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
76 2pos 11056 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 2)
7867, 74, 75, 77divgt0d 10903 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝑁 / 2))
7978adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 0 < (𝑁 / 2))
80 elnnz 11331 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
8172, 79, 80sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
82 dirkertrigeqlem1 39622 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (𝑁 / 2)))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
8457, 65, 833eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
8584oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + 0))
86 halfcn 11191 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
8786addid1i 10167 . . . . . 6 ((1 / 2) + 0) = (1 / 2)
8885, 87syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = (1 / 2))
8988oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = ((1 / 2) / π))
90 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
91 2cnne0 11186 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
92 pire 24114 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
93 pipos 24116 . . . . . . . 8 0 < π
9492, 93gt0ne0ii 10508 . . . . . . 7 π ≠ 0
9514, 94pm3.2i 471 . . . . . 6 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
96 divdiv1 10680 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
9790, 91, 95, 96mp3an 1421 . . . . 5 ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π))
9897a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) / π) = (1 / (2 · π)))
9947, 89, 983eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (1 / (2 · π)))
1001oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π))
101100a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
10286a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
10349, 102addcld 10003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10450, 9mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
105 peano2cn 10152 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
10714a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℂ)
108103, 106, 107mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · 𝐾) + 1) · π)))
109 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11049, 102, 104, 109muladdd 10433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))))
11149, 50, 9mul12d 10189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · (2 · 𝐾)) = (2 · (𝑁 · 𝐾)))
112102mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · (1 / 2)) = (1 / 2))
113111, 112oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)))
11449mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
11550, 9mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝐾) = (𝐾 · 2))
116115oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = ((𝐾 · 2) · (1 / 2)))
1179, 50, 102mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 · 2) · (1 / 2)) = (𝐾 · (2 · (1 / 2))))
118 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
119118, 51recidi 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (1 / 2)) = 1
120119oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = (𝐾 · 1)
1219mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
122120, 121syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 · (2 · (1 / 2))) = 𝐾)
123116, 117, 1223eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝐾) · (1 / 2)) = 𝐾)
124114, 123oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2))) = (𝑁 + 𝐾))
125113, 124oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑁 · (2 · 𝐾)) + (1 · (1 / 2))) + ((𝑁 · 1) + ((2 · 𝐾) · (1 / 2)))) = (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)))
12649, 9mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℂ)
12750, 126mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) ∈ ℂ)
12849, 9addcld 10003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℂ)
129127, 102, 128addassd 10006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑁 · 𝐾)) + (1 / 2)) + (𝑁 + 𝐾)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
130110, 125, 1293eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))))
131102, 128addcld 10003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) ∈ ℂ)
132127, 131addcomd 10182 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑁 · 𝐾)) + ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))))
13350, 126mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑁 · 𝐾)) = ((𝑁 · 𝐾) · 2))
134133oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + (2 · (𝑁 · 𝐾))) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
135130, 132, 1343eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) = (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)))
136135oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π))
137126, 50mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
138131, 137, 107adddird 10009 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) + ((𝑁 · 𝐾) · 2)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)))
139126, 50, 107mulassd 10007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π) = ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))
140139oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + (((𝑁 · 𝐾) · 2) · π)) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
141136, 138, 1403eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · ((2 · 𝐾) + 1)) · π) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
142101, 108, 1413eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π))))
143142fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))))
144131, 107mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ)
14548nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
146145, 8zmulcld 11432 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
147 sinper 24137 . . . . . . . 8 (((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ) → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
148144, 146, 147syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) + ((𝑁 · 𝐾) · (2 · π)))) = (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)))
149102, 128addcomd 10182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)))
15049, 9, 102addassd 10006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 𝐾) + (1 / 2)) = (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))))
1519, 102addcld 10003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
15249, 151addcomd 10182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (𝐾 + (1 / 2))) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
153149, 150, 1523eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) = ((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁))
154153oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π))
155154fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((1 / 2) + (𝑁 + 𝐾)) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
156143, 148, 1553eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)))
1571a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (((2 · 𝐾) + 1) · π))
158157oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2))
159106, 107, 50, 52div23d 10782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) · π) / 2) = ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π))
160104, 109, 50, 52divdird 10783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)))
1619, 50, 52divcan3d 10750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝐾) / 2) = 𝐾)
162161oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝐾) / 2) + (1 / 2)) = (𝐾 + (1 / 2)))
163160, 162eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝐾) + 1) / 2) = (𝐾 + (1 / 2)))
164163oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝐾) + 1) / 2) · π) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
165158, 159, 1643eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((𝐾 + (1 / 2)) · π))
166165fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
167166oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
168156, 167oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
169168adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
170151, 49, 107adddird 10009 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)))
171170fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))))
172171oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
173172adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) + 𝑁) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
17449halfcld 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
17550, 174mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 2)) = ((𝑁 / 2) · 2))
17653, 175eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 = ((𝑁 / 2) · 2))
177176oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · π) = (((𝑁 / 2) · 2) · π))
178174, 50, 107mulassd 10007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 / 2) · 2) · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
179177, 178eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · π) = ((𝑁 / 2) · (2 · π)))
180179oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π))))
181180fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
182181adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))))
1839adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
184 1cnd 10000 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 1 ∈ ℂ)
185184halfcld 11221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / 2) ∈ ℂ)
186183, 185addcld 10003 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
18714a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
188186, 187mulcld 10004 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
189 sinper 24137 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
190188, 72, 189syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + ((𝑁 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
191182, 190eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
19250, 107mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
193151, 107mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
194193sincld 14785 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
195192, 194mulcomd 10005 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
196195adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π)))
197191, 196oveq12d 6622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
19894a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
199151, 107, 198divcan4d 10751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) = (𝐾 + (1 / 2)))
2008zred 11426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
20169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
202201rpreccld 11826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
203200, 202ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)))
204 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
205204rehalfcld 11223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
206 halflt1 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) < 1
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
208205, 204, 200, 207ltadd2dd 10140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1))
209 btwnnz 11397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < (𝐾 + (1 / 2)) ∧ (𝐾 + (1 / 2)) < (𝐾 + 1)) → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
2108, 203, 208, 209syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐾 + (1 / 2)) ∈ ℤ)
211199, 210eqneltrd 2717 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ)
212 sineq0 24177 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
213193, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0 ↔ (((𝐾 + (1 / 2)) · π) / π) ∈ ℤ))
214211, 213mtbird 315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) = 0)
215214neqned 2797 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ≠ 0)
21650, 107, 52, 198mulne0d 10623 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
217194, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
218194, 215dividd 10743 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = 1)
219218oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (1 / (2 · π)))
220217, 219eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
221220adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (1 / (2 · π)))
222197, 221eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (1 / (2 · π)))
223169, 173, 2223eqtrrd 2660 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (1 / (2 · π)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
22499, 223eqtrd 2655 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
22546adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π))
226145adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
227 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
228227neqned 2797 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
229 oddfl 38953 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) ≠ 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
230226, 228, 229syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → 𝑁 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))
231230oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (1...𝑁) = (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
232231sumeq1d 14365 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)))
233 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = 1 → (𝑁 / 2) = (1 / 2))
234233fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (⌊‘(1 / 2)))
235 halffl 38974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘(1 / 2)) = 0
236234, 235syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = 0)
237236oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = (2 · 0))
238 2t0e0 11127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 0) = 0
239237, 238syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = 0)
240239oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = (0 + 1))
24190addid2i 10168 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
242240, 241syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) = 1)
243242oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (1...1))
244243sumeq1d 14365 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)))
245 1z 11351 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
246 coscl 14782 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℂ → (cos‘π) ∈ ℂ)
24714, 246ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘π) ∈ ℂ
248 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = (π · 1))
24914mulid1i 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π · 1) = π
250248, 249syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (π · 𝑛) = π)
251250fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
252251fsum1 14406 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (cos‘π) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
253245, 247, 252mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π)
254253a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...1)(cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘π))
255 cospi 24128 . . . . . . . . . . 11 (cos‘π) = -1
256255a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (cos‘π) = -1)
257244, 254, 2563eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
258257adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
259 2nn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℕ)
26167rehalfcld 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
262261flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
263262adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
264 2div2e1 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 / 2) = 1
26573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ)
26667adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
26769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ∈ ℝ+)
268 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
269 nnne1ge2 38968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
27048, 268, 269syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 2 ≤ 𝑁)
271265, 266, 267, 270lediv1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 / 2) ≤ (𝑁 / 2))
272264, 271syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
273261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
274 flge 12546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
275273, 245, 274sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (1 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
276272, 275mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
277 elnnz1 11347 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
278263, 276, 277sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
279260, 278nnmulcld 11012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℕ)
280 nnuz 11667 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
281279, 280syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ (ℤ‘1))
28214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → π ∈ ℂ)
283 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
284283zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
285284adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
286282, 285mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (π · 𝑛) ∈ ℂ)
287286coscld 14786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) ∧ 𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) → (cos‘(π · 𝑛)) ∈ ℂ)
288 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (π · 𝑛) = (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))
289288fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))))
290281, 287, 289fsump1 14415 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))))
29114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → π ∈ ℂ)
292 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
293292zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → 𝑛 ∈ ℂ)
294291, 293mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (π · 𝑛) = (𝑛 · π))
295294fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) → (cos‘(π · 𝑛)) = (cos‘(𝑛 · π)))
296295sumeq2i 14363 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π))
297 dirkertrigeqlem1 39622 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
298278, 297syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(𝑛 · π)) = 0)
299296, 298syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) = 0)
300262zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
30150, 300mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
302107, 301, 109adddid 10008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)))
303107, 50, 300mul13d 38955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
304249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · 1) = π)
305303, 304oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((π · (2 · (⌊‘(𝑁 / 2)))) + (π · 1)) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π))
306300, 192mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
307306, 107addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) + π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
308302, 305, 3073eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
309308fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
310 cosper 24138 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
311107, 262, 310syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘(π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (cos‘π))
312255a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (cos‘π) = -1)
313309, 311, 3123eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
314313adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))) = -1)
315299, 314oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (Σ𝑛 ∈ (1...(2 · (⌊‘(𝑁 / 2))))(cos‘(π · 𝑛)) + (cos‘(π · ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1)))) = (0 + -1))
316 neg1cn 11068 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
317316addid2i 10168 . . . . . . . . . 10 (0 + -1) = -1
318317a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (0 + -1) = -1)
319290, 315, 3183eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 1) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
320258, 319pm2.61dan 831 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
321320adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1))(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
322232, 321eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛)) = -1)
323322oveq2d 6620 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) = ((1 / 2) + -1))
324323oveq1d 6619 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(π · 𝑛))) / π) = (((1 / 2) + -1) / π))
325168, 172eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
326325adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
327230oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π))
328301, 109, 107adddird 10009 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)))
329107mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 · π) = π)
330329oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + (1 · π)) = (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π))
331301, 107mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) ∈ ℂ)
332331, 107addcomd 10182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) + π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
333328, 330, 3323eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
334333adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) + 1) · π) = (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)))
33550, 300mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2))
336335oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π))
337300, 50, 107mulassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((⌊‘(𝑁 / 2)) · 2) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
338336, 337eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))
339338oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
340339adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (π + ((2 · (⌊‘(𝑁 / 2))) · π)) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
341327, 334, 3403eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (𝑁 · π) = (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
342341oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
343193adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ)
34414a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → π ∈ ℂ)
345306adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)) ∈ ℂ)
346343, 344, 345addassd 10006 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))) = (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (π + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
347342, 346eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π)) = ((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π))))
348347fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) = (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))))
349348oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + (𝑁 · π))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
350193, 107addcld 10003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ)
351 sinper 24137 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ) → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
352350, 262, 351syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)))
353 sinppi 24145 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + (1 / 2)) · π) ∈ ℂ → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
354193, 353syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π)) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
355352, 354eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) = -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))
356355oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))))
357195oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
358194, 194, 215divnegd 10758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))))
359218negeqd 10219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
360358, 359eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) = -1)
361360oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-1 / (2 · π)))
362194negcld 10323 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) ∈ ℂ)
363362, 194, 192, 215, 216divdiv1d 10776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π))) / (2 · π)) = (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))))
36486, 90negsubi 10303 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + -1) = ((1 / 2) − 1)
36590, 86negsubdi2i 10311 . . . . . . . . . . 11 -(1 − (1 / 2)) = ((1 / 2) − 1)
366 1mhlfehlf 11195 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
367366negeqi 10218 . . . . . . . . . . . 12 -(1 − (1 / 2)) = -(1 / 2)
368 divneg 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
36990, 118, 51, 368mp3an 1421 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 2) = (-1 / 2)
370367, 369eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 -(1 − (1 / 2)) = (-1 / 2)
371364, 365, 3703eqtr2i 2649 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + -1) = (-1 / 2)
372371oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) + -1) / π) = ((-1 / 2) / π)
373 divdiv1 10680 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π)))
374316, 91, 95, 373mp3an 1421 . . . . . . . . 9 ((-1 / 2) / π) = (-1 / (2 · π))
375372, 374eqtr2i 2644 . . . . . . . 8 (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π)
376375a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1 / (2 · π)) = (((1 / 2) + -1) / π))
377361, 363, 3763eqtr3d 2663 . . . . . 6 (𝜑 → (-(sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) / ((sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)) · (2 · π))) = (((1 / 2) + -1) / π))
378356, 357, 3773eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
379378adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → ((sin‘((((𝐾 + (1 / 2)) · π) + π) + ((⌊‘(𝑁 / 2)) · (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝐾 + (1 / 2)) · π)))) = (((1 / 2) + -1) / π))
380326, 349, 3793eqtrrd 2660 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + -1) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
381225, 324, 3803eqtrd 2659 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑁 mod 2) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
382224, 381pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12268  cfl 12531   mod cmo 12608  Σcsu 14350  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
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