Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummulc1 29966
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (𝜑𝐴𝑉)
esummulc2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2621 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5 esummulc2.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 29811 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7 eqidd 2622 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8 oveq1 6622 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9 icossxr 12216 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
109, 5sseldi 3586 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmul02 12057 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
138, 12sylan9eqr 2677 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14 0e0iccpnf 12241 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 6255 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17 simp2 1060 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1061 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 12218 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sseldi 3586 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 29519 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
24 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 6630 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
27 ge0xaddcl 12244 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1077 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 6645 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 6255 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
31 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
3231oveq1d 6630 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33 ovexd 6645 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 6255 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 6630 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovexd 6645 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 6255 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3934, 38oveq12d 6633 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
4023, 30, 393eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 29965 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342oveq1d 6630 . . 3 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
443ralrimiva 2962 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘𝐴
4645esumcl 29915 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 6645 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 6255 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
5251oveq1d 6630 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53 ovexd 6645 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 6255 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
5554esumeq2dv 29923 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
5641, 49, 553eqtr3d 2663 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  Vcvv 3190  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  *cxr 10033  cle 10035   +𝑒 cxad 11904   ·e cxmu 11905  [,)cico 12135  [,]cicc 12136  t crest 16021  ordTopcordt 16099  Σ*cesum 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-xrs 16102  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-ntr 20764  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-tsms 21870  df-esum 29913
This theorem is referenced by:  esummulc2  29967  esumdivc  29968
  Copyright terms: Public domain W3C validator