Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcl 30372
Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumcl.1 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esumcl ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcl
StepHypRef Expression
1 xrge0base 29965 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0cmn 19961 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
32a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4 xrge0tps 30268 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6 simpl 474 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 esumcl.1 . . . . . 6 𝑘𝐴
87nfel1 2905 . . . . 5 𝑘 𝐴𝑉
9 nfra1 3067 . . . . 5 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
108, 9nfan 1965 . . . 4 𝑘(𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11 nfcv 2890 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
12 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312r19.21bi 3058 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2748 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1510, 7, 11, 13, 14fmptdF 29736 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
161, 3, 5, 6, 15tsmscl 22110 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ⊆ (0[,]+∞))
17 df-esum 30370 . . 3 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
18 eqid 2748 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1918, 6, 15xrge0tsmsbi 30066 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))))
2017, 19mpbiri 248 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
2116, 20sseldd 3733 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wnfc 2877  wral 3038   cuni 4576  cmpt 4869  (class class class)co 6801  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  [,]cicc 12342  s cress 16031  *𝑠cxrs 16333  CMndccmn 18364  TopSpctps 20909   tsums ctsu 22101  Σ*cesum 30369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-xadd 12111  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-ordt 16334  df-xrs 16335  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-ps 17372  df-tsr 17373  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-ntr 20997  df-nei 21075  df-cn 21204  df-haus 21292  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-tsms 22102  df-esum 30370
This theorem is referenced by:  esumel  30389  esummono  30396  esumpad  30397  esumpad2  30398  esumle  30400  esumlef  30404  esumrnmpt2  30410  esumfsup  30412  esumpinfval  30415  esumpinfsum  30419  esumpmono  30421  esummulc1  30423  esummulc2  30424  esumdivc  30425  hasheuni  30427  esumcvg  30428  esumgect  30432  esum2dlem  30434  esum2d  30435  measiun  30561  omscl  30637  oms0  30639  omsmon  30640  omssubadd  30642  carsggect  30660  carsgclctunlem2  30661  omsmeas  30665
  Copyright terms: Public domain W3C validator