Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem29 39813
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etranslemdvnf2lemlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem29.a (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem29.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem29.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem29.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem29.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem29.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem29.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem29.e 𝐸 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem29 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑥,𝑗,𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem29
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etranslemdvnf2lemlem.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem29.a . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
31, 2dvdmsscn 39484 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
4 etransclem29.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5 etransclem29.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6 etransclem29.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
7 etransclem29.h . . . . 5 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem29.e . . . . 5 𝐸 = (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
93, 4, 5, 6, 7, 8etransclem4 39788 . . . 4 (𝜑𝐹 = 𝐸)
109oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 𝐹) = (𝑆 D𝑛 𝐸))
1110fveq1d 6155 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐸)‘𝑁))
12 fzfid 12720 . . 3 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
133adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
144adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
15 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
1613, 14, 7, 15etransclem1 39785 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻𝑗):𝑋⟶ℂ)
17 etransclem29.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1813ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1923ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
2043ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
21 etransclem5 39789 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
227, 21eqtri 2643 . . . 4 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
23 simp2 1060 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
24 elfznn0 12382 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
25243ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2618, 19, 20, 22, 23, 25etransclem20 39804 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘𝑖):𝑋⟶ℂ)
27 etransclem29.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
281, 2, 12, 16, 17, 26, 8, 27dvnprod 39497 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐸)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥))))
2911, 28eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3559  ifcif 4063  {cpr 4155  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  ...cfz 12276  cexp 12808  !cfa 13008  Σcsu 14358  cprod 14571  t crest 16013  TopOpenctopn 16014  fldccnfld 19678   D𝑛 cdvn 23551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-prod 14572  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-dvn 23555
This theorem is referenced by:  etransclem30  39814
  Copyright terms: Public domain W3C validator