Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem4 38932
Description: 𝐹 expressed as a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem4.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
etransclem4.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem4.M (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem4.f 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem4.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem4.e 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem4 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem etransclem4
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
2 etransclem4.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 cnex 9870 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
43ssex 4722 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
5 mptexg 6364 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
62, 4, 53syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V)
8 etransclem4.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
98fvmpt2 6182 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ V) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
101, 7, 9syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐻𝑗) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
11 ovex 6552 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ V)
1310, 12fvmpt2d 6184 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1413an32s 841 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐻𝑗)‘𝑥) = ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
1514prodeq2dv 14435 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
16 etransclem4.M . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
17 nn0uz 11551 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
1816, 17syl6eleq 2694 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1918adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
202sselda 3564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2120adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22 elfzelz 12165 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2322zcnd 11312 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
2423adantl 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2521, 24subcld 10240 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑗) ∈ ℂ)
26 etransclem4.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
27 nnm1nn0 11178 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2926nnnn0d 11195 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
3028, 29ifcld 4077 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3130ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3225, 31expcld 12822 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
33 oveq2 6532 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝑥𝑗) = (𝑥 − 0))
34 iftrue 4038 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
3533, 34oveq12d 6542 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)))
3619, 32, 35fprod1p 14480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
3720subid1d 10229 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3837oveq1d 6539 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(𝑃 − 1)))
39 0p1e1 10976 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
4039oveq1i 6534 . . . . . . . 8 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
42 0red 9894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
43 1red 9908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
44 elfzelz 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zred 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
46 0lt1 10396 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
48 elfzle1 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
4942, 43, 45, 47, 48ltletrd 10045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
5049gt0ne0d 10438 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
5150neneqd 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
5251iffalsed 4043 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
5352oveq2d 6540 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5453adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥𝑗)↑𝑃))
5541, 54prodeq12rdv 14439 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5655adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))
5738, 56oveq12d 6542 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥 − 0)↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
5815, 36, 573eqtrrd 2645 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
5958mpteq2dva 4663 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥)))
60 etransclem4.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
61 etransclem4.e . 2 𝐸 = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)((𝐻𝑗)‘𝑥))
6259, 60, 613eqtr4g 2665 1 (𝜑𝐹 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  wss 3536  ifcif 4032   class class class wbr 4574  cmpt 4634  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cmin 10114  cn 10864  0cn0 11136  cuz 11516  ...cfz 12149  cexp 12674  cprod 14417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-prod 14418
This theorem is referenced by:  etransclem13  38941  etransclem29  38957
  Copyright terms: Public domain W3C validator