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Theorem expdioph 37907
Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdioph {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdioph
StepHypRef Expression
1 pm4.42 1024 . . . 4 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
2 ancom 465 . . . . . 6 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
3 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
4 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
5 df-3 11118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
6 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) ⊆ (1...3)
75, 6jm2.27dlem5 37897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...2) ⊆ (1...3)
84, 7jm2.27dlem5 37897 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...1) ⊆ (1...3)
9 1nn 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
109jm2.27dlem3 37895 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ (1...1)
118, 10sselii 3633 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (1...3)
12 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
133, 11, 12sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
15 elnn0 11332 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
1614, 15sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
17 elnn1uz2 11803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎‘1) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
1817biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘1) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
1918orim1i 538 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
2120biantrurd 528 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
22 andir 930 . . . . . . . . . 10 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
23 andir 930 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
2423orbi1i 541 . . . . . . . . . 10 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
2522, 24bitri 264 . . . . . . . . 9 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
26 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
27 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎‘2) ∈ ℤ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
3029eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1))
31 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (1↑(𝑎‘2)))
3231eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2))))
3332bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘1) = 1 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
3430, 33syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
3534pm5.32d 672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
36 iba 523 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
3837anbi1d 741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
3935, 38orbi12d 746 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))))
40 0exp 12935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
4241eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
43 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (0↑(𝑎‘2)))
4443eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2))))
4544bibi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎‘1) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
4642, 45syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
4746pm5.32d 672 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))
4839, 47orbi12d 746 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
4925, 48syl5bb 272 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
5021, 49bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
5150pm5.32da 674 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
522, 51syl5bb 272 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
53 ancom 465 . . . . . 6 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
54 2nn 11223 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
5554jm2.27dlem3 37895 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (1...2)
567, 55sselii 3633 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (1...3)
57 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . 10 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
583, 56, 57sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
59 elnn0 11332 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
60 pm2.53 387 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
6159, 60sylbi 207 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
62 0nnn 11090 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
63 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
6462, 63mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) = 0 → ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)
6561, 64impbid1 215 . . . . . . . . 9 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
6658, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
6766anbi1d 741 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
6813nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℂ)
6968exp0d 13042 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((𝑎‘1)↑0) = 1)
7069eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1))
71 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = ((𝑎‘1)↑0))
7271eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0)))
7372bibi1d 332 . . . . . . . . 9 ((𝑎‘2) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
7470, 73syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
7574pm5.32d 672 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7667, 75bitrd 268 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7753, 76syl5bb 272 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7852, 77orbi12d 746 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
791, 78syl5bb 272 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
8079rabbiia 3215 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))}
81 3nn0 11348 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
82 ovex 6718 . . . . . 6 (1...3) ∈ V
83 mzpproj 37617 . . . . . 6 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
8482, 56, 83mp2an 708 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
85 elnnrabdioph 37688 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
8681, 84, 85mp2an 708 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
87 mzpproj 37617 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
8882, 11, 87mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
89 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
90 mzpconstmpt 37620 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
9182, 89, 90mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))
92 eqrabdioph 37658 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3))
9381, 88, 91, 92mp3an 1464 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3)
94 3nn 11224 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9594jm2.27dlem3 37895 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...3)
96 mzpproj 37617 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
9782, 95, 96mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
98 eqrabdioph 37658 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3))
9981, 97, 91, 98mp3an 1464 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)
100 anrabdioph 37661 . . . . . . 7 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
10193, 99, 100mp2an 708 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
102 expdiophlem2 37906 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
103 orrabdioph 37662 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3))
104101, 102, 103mp2an 708 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3)
105 eq0rabdioph 37657 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3))
10681, 88, 105mp2an 708 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3)
107 eq0rabdioph 37657 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
10881, 97, 107mp2an 708 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
109 anrabdioph 37661 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
110106, 108, 109mp2an 708 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
111 orrabdioph 37662 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
112104, 110, 111mp2an 708 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
113 anrabdioph 37661 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
11486, 112, 113mp2an 708 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
115 eq0rabdioph 37657 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
11681, 84, 115mp2an 708 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
117 anrabdioph 37661 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
118116, 99, 117mp2an 708 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
119 orrabdioph 37662 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3))
120114, 118, 119mp2an 708 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3)
12180, 120eqeltri 2726 1 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cexp 12900  mzPolycmzp 37602  Diophcdioph 37635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-mzpcl 37603  df-mzp 37604  df-dioph 37636  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784
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