Theorem exp0d 13505

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 13434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-neg 10873  df-z 11983  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  13656  faclbnd4lem4  13657  faclbnd6  13660  hashmap  13797  absexp  14664  binom  15185  geoser  15222  pwdif  15223  cvgrat  15239  efexp  15454  pwp1fsum  15742  prmdvdsexpr  16061  rpexp1i  16065  phiprm  16114  odzdvds  16132  pclem  16175  pcpre1  16179  pcexp  16196  dvdsprmpweqnn  16221  prmpwdvds  16240  pgp0  18721  sylow2alem2  18743  ablfac1eu  19195  pgpfac1lem3a  19198  plyeq0lem  24800  plyco  24831  vieta1  24901  abelthlem9  25028  advlogexp  25238  cxpmul2  25272  nnlogbexp  25359  ftalem5  25654  0sgm  25721  1sgmprm  25775  dchrptlem2  25841  bposlem5  25864  lgsval2lem  25883  lgsmod  25899  lgsdilem2  25909  lgsne0  25911  chebbnd1lem1  26045  dchrisum0flblem1  26084  qabvexp  26202  ostth2lem2  26210  ostth3  26214  rusgrnumwwlk  27754  nexple  31268  faclim  32978  faclim2  32980  knoppndvlem14  33864  nn0rppwr  39231  nn0expgcd  39233  fltnltalem  39323  mzpexpmpt  39391  pell14qrexpclnn0  39512  pellfund14  39544  rmxy0  39569  jm2.17a  39606  jm2.17b  39607  jm2.18  39634  jm2.23  39642  expdioph  39669  cnsrexpcl  39814  binomcxplemnotnn0  40737  dvnxpaek  42276  wallispilem2  42400  etransclem24  42592  etransclem25  42593  etransclem35  42603  lighneallem3  43821  lighneallem4  43824  altgsumbcALT  44450  expnegico01  44622  digexp  44716  dig1  44717