MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp0d 12819
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp0d (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp0 12681 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-neg 10120  df-z 11211  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  12899  faclbnd4lem4  12900  faclbnd6  12903  hashmap  13034  absexp  13838  binom  14347  geoser  14384  cvgrat  14400  efexp  14616  prmdvdsexpr  15213  rpexp1i  15217  phiprm  15266  odzdvds  15284  pclem  15327  pcpre1  15331  pcexp  15348  dvdsprmpweqnn  15373  prmpwdvds  15392  pgp0  17780  sylow2alem2  17802  ablfac1eu  18241  pgpfac1lem3a  18244  plyeq0lem  23687  plyco  23718  vieta1  23788  abelthlem9  23915  advlogexp  24118  cxpmul2  24152  nnlogbexp  24236  ftalem5  24520  0sgm  24587  1sgmprm  24641  dchrptlem2  24707  bposlem5  24730  lgsval2lem  24749  lgsmod  24765  lgsdilem2  24775  lgsne0  24777  chebbnd1lem1  24875  dchrisum0flblem1  24914  qabvexp  25032  ostth2lem2  25040  ostth3  25044  nexple  29205  faclim  30691  faclim2  30693  knoppndvlem14  31492  mzpexpmpt  36122  pell14qrexpclnn0  36244  pellfund14  36276  rmxy0  36302  jm2.17a  36341  jm2.17b  36342  jm2.18  36369  jm2.23  36377  expdioph  36404  cnsrexpcl  36550  binomcxplemnotnn0  37373  dvnxpaek  38629  wallispilem2  38756  etransclem24  38948  etransclem25  38949  etransclem35  38959  pwdif  39837  lighneallem3  39860  lighneallem4  39863  rusgrnumwwlk  41173  altgsumbcALT  41919  expnegico01  42097  digexp  42194  dig1  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator