MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp0d 13196
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
exp0d (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 exp0 13058 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-neg 10461  df-z 11570  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  13276  faclbnd4lem4  13277  faclbnd6  13280  hashmap  13414  absexp  14243  binom  14761  geoser  14798  cvgrat  14814  efexp  15030  prmdvdsexpr  15631  rpexp1i  15635  phiprm  15684  odzdvds  15702  pclem  15745  pcpre1  15749  pcexp  15766  dvdsprmpweqnn  15791  prmpwdvds  15810  pgp0  18211  sylow2alem2  18233  ablfac1eu  18672  pgpfac1lem3a  18675  plyeq0lem  24165  plyco  24196  vieta1  24266  abelthlem9  24393  advlogexp  24600  cxpmul2  24634  nnlogbexp  24718  ftalem5  25002  0sgm  25069  1sgmprm  25123  dchrptlem2  25189  bposlem5  25212  lgsval2lem  25231  lgsmod  25247  lgsdilem2  25257  lgsne0  25259  chebbnd1lem1  25357  dchrisum0flblem1  25396  qabvexp  25514  ostth2lem2  25522  ostth3  25526  rusgrnumwwlk  27097  nexple  30380  faclim  31939  faclim2  31941  knoppndvlem14  32822  mzpexpmpt  37810  pell14qrexpclnn0  37932  pellfund14  37964  rmxy0  37990  jm2.17a  38029  jm2.17b  38030  jm2.18  38057  jm2.23  38065  expdioph  38092  cnsrexpcl  38237  binomcxplemnotnn0  39057  dvnxpaek  40660  wallispilem2  40786  etransclem24  40978  etransclem25  40979  etransclem35  40989  pwdif  42011  lighneallem3  42034  lighneallem4  42037  altgsumbcALT  42641  expnegico01  42818  digexp  42911  dig1  42912
  Copyright terms: Public domain W3C validator