MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodmodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodmodd 14772
Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmodd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
Assertion
Ref Expression
fprodmodd (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
43oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
52, 4eqeq12d 2666 . 2 (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
76oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘𝑦 𝐶)
98oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀))
107, 9eqeq12d 2666 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
1211oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
1413oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
1512, 14eqeq12d 2666 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1716oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
1918oveq1d 6705 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
2017, 19eqeq12d 2666 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21 prod0 14717 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
2322oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24 prod0 14717 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
2524eqcomi 2660 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
2625oveq1i 6700 . . 3 (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
2723, 26syl6eq 2701 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)))
29 nfcsb1v 3582 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
30 ssfi 8221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3130ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
32 fprodmodd.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3331, 32syl11 33 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (𝜑𝑦 ∈ Fin))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝜑𝑦 ∈ Fin))
3534impcom 445 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
36 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑖 ∈ (𝐴𝑦))
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴𝑦))
38 eldifn 3766 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 𝑖𝑦)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → ¬ 𝑖𝑦)
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑖𝑦)
41 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
42 ssel 3630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
4443adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
4544imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
46 fprodmodd.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4741, 45, 46syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
4847zcnd 11521 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
49 csbeq1a 3575 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
50 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑖𝐴)
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑖𝐴)
5246ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
53 rspcsbela 4039 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
5451, 52, 53syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
5554zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5628, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55fprodsplitsn 14764 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵))
5756oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀))
5857adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀))
5935, 47fprodzcl 14728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
6059adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
61 fprodmodd.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
6241, 45, 61syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
6335, 62fprodzcl 14728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
6463adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
6554adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
6661ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
67 rspcsbela 4039 . . . . . . 7 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
6851, 66, 67syl2anr 494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
6968adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
70 fprodmodd.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7170nnrpd 11908 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ+)
7372adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
74 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀))
75 fprodmodd.p . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
7675ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77 rspsbca 3552 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
7851, 76, 77syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
79 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ V
80 sbceqg 4017 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀)))
8179, 80mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀)))
8278, 81mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀))
83 csbov1g 6730 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀))
8479, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀)
85 csbov1g 6730 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8679, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀)
8782, 84, 863eqtr3g 2708 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8887adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8960, 64, 65, 69, 73, 74, 88modmul12d 12764 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀))
90 nfcsb1v 3582 . . . . . . . 8 𝑘𝑖 / 𝑘𝐶
9162zcnd 11521 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑘𝐶)
9368zcnd 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
9428, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93fprodsplitsn 14764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶))
9594oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀))
9695eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
9796adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
9858, 89, 973eqtrd 2689 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
9998ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
1005, 10, 15, 20, 27, 99, 32findcard2d 8243 1 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  [wsbc 3468  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   · cmul 9979  cn 11058  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  25140
  Copyright terms: Public domain W3C validator