MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopnst 22494
Description: A half-open interval ending at 𝐵 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iocopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
iocopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iocopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22326 . . . . 5 (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 simp2 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣)
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣))
6 ltp1 10712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
76adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
8 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9 lelttr 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1093expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1110ancom1s 842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1211ancomsd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
138, 12mpidan 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
147, 13mpand 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑣𝐵𝑣 < (𝐵 + 1)))
1514impr 646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
16153adantr2 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
1716ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1817ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
193, 5, 183jcad 1235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
20 rexr 9941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21 elico2 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2220, 21sylan2 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2322biimpa 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
24 lelttr 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴 < 𝑣))
25 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
26253adant2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
2724, 26syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
28273expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
2928imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
3029an4s 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
31303adantr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
3231ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3332anasss 676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
34333adantr3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3534adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3623, 35syldan 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
37 simp3 1055 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵))
393, 36, 383jcad 1235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
4019, 39jcad 553 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
41 simpl1 1056 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
42 simpl2 1057 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐶 < 𝑣)
43 simpr3 1061 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣𝐵)
4441, 42, 433jca 1234 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵))
4540, 44impbid1 213 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
4623simp1d 1065 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
47 rexr 9941 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elioc2 12065 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
5148, 49, 50syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
52 elin 3757 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
53 rexr 9941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 + 1) ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
56 elioo2 12045 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
5748, 55, 56syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
58 elicc2 12067 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5958adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
6057, 59anbi12d 742 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6152, 60syl5bb 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6245, 51, 613bitr4d 298 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6362eqrdv 2607 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64 ineq1 3768 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6564eqeq2d 2619 . . . . . 6 (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → ((𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6665rspcev 3281 . . . . 5 (((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
671, 63, 66sylancr 693 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
68 retop 22322 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
69 ovex 6554 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
70 elrest 15859 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
7168, 69, 70mp2an 703 . . . 4 ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7267, 71sylibr 222 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
73 iccssre 12084 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7473adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
75 eqid 2609 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
76 iocopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7775, 76resubmet 22360 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7874, 77syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7972, 78eleqtrrd 2690 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
8079ex 448 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577   × cxp 5025  ran crn 5028  cres 5029  ccom 5031  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  (,)cioo 12004  (,]cioc 12005  [,)cico 12006  [,]cicc 12007  abscabs 13770  t crest 15852  topGenctg 15869  MetOpencmopn 19505  Topctop 20464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-rest 15854  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator