MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocopnst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocopnst 22786
Description: A half-open interval ending at 𝐵 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
iocopnst.1 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
Assertion
Ref Expression
iocopnst ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iocopnst
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooretop 22616 . . . . 5 (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
2 simp1 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ))
4 simp2 1082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣)
54a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐶 < 𝑣))
6 ltp1 10899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
8 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1093expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1110ancom1s 864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣𝐵𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1211ancomsd 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
138, 12mpidan 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
147, 13mpand 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑣𝐵𝑣 < (𝐵 + 1)))
1514impr 648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
16153adantr2 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
1716ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
1817ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
193, 5, 183jcad 1262 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
20 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21 elico2 12275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2220, 21sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2322biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
24 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴 < 𝑣))
25 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
26253adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣𝐴𝑣))
2724, 26syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
28273expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶 < 𝑣) → 𝐴𝑣))
2928imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
3029an4s 886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣)) → 𝐴𝑣)
31303adantr3 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)) → 𝐴𝑣)
3231ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3332anasss 680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
34333adantr3 1242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3534adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
3623, 35syldan 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝐴𝑣))
37 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → 𝑣𝐵))
393, 36, 383jcad 1262 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
4019, 39jcad 554 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
41 simpl1 1084 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
42 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝐶 < 𝑣)
43 simpr3 1089 . . . . . . . . 9 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → 𝑣𝐵)
4441, 42, 433jca 1261 . . . . . . . 8 (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵))
4540, 44impbid1 215 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
4623simp1d 1093 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
47 rexr 10123 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 elioc2 12274 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
5148, 49, 50syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣𝐵)))
52 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
53 rexr 10123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 + 1) ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
56 elioo2 12254 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
5748, 55, 56syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1))))
58 elicc2 12276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵)))
6057, 59anbi12d 747 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6152, 60syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑣𝑣𝐵))))
6245, 51, 613bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6362eqrdv 2649 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64 ineq1 3840 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
6564eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → ((𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
6665rspcev 3340 . . . . 5 (((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
671, 63, 66sylancr 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
68 retop 22612 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
69 ovex 6718 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ∈ V
70 elrest 16135 . . . . 5 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
7168, 69, 70mp2an 708 . . . 4 ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7267, 71sylibr 224 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
73 iccssre 12293 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7473adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
75 eqid 2651 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
76 iocopnst.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
7775, 76resubmet 22652 . . . 4 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7874, 77syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7972, 78eleqtrrd 2733 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
8079ex 449 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  abscabs 14018  t crest 16128  topGenctg 16145  MetOpencmopn 19784  Topctop 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator