Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmulc2nclem1 33105
Description: Lemma for itgmulc2nc 33107; cf. itgmulc2lem1 23504. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
itgmulc2nc.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgmulc2nc.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgmulc2nc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
itgmulc2nc.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgmulc2nc.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgmulc2nc.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
itgmulc2nc.7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgmulc2nclem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgmulc2nc.7 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
3 elrege0 12220 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
41, 2, 3sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5 0e0icopnf 12224 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,)+∞)
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
74, 6ifclda 4092 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
9 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
108, 9fmptd 6340 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
11 itgmulc2nc.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
121, 2iblpos 23465 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
1311, 12mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
1413simprd 479 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
15 itgmulc2nc.4 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
16 itgmulc2nc.6 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
17 elrege0 12220 . . . . 5 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
1815, 16, 17sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
1910, 14, 18itg2mulc 23420 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
20 reex 9971 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
22 itgmulc2nc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
24 fconstmpt 5123 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶)
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐶}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶))
26 eqidd 2622 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2721, 23, 8, 25, 26offval2 6867 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
28 ovif2 6691 . . . . . . 7 (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0))
2922mul01d 10179 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · 0) = 0)
3130ifeq2d 4077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), (𝐶 · 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3228, 31syl5eq 2667 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))
3332mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐶 · if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3427, 33eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐶}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0)))
3534fveq2d 6152 . . 3 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐶}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
3619, 35eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
371, 11, 2itgposval 23468 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
3837oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = (𝐶 · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
3915adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
4039, 1remulcld 10014 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
41 itgmulc2nc.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
42 itgmulc2nc.m . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
4322, 41, 11, 42iblmulc2nc 33104 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1)
4416adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
4539, 1, 44, 2mulge0d 10548 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐶 · 𝐵))
4640, 43, 45itgposval 23468 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐶 · 𝐵), 0))))
4736, 38, 463eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (𝐶 · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴(𝐶 · 𝐵) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,)cico 12119  MblFncmbf 23289  2citg2 23291  𝐿1cibl 23292  citg 23293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  33106
  Copyright terms: Public domain W3C validator