Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 37401
 Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
lcdvsubval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m = (-g𝐶)
lcdvsubval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsubval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvsubval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37375 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2752 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐶)
10 eqid 2752 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2752 . . . . 5 ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2752 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2752 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19112 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1473 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
1615fveq1d 6346 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋))
17 lcdvsubval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20 eqid 2752 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 eqid 2752 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2210lmodfgrp 19066 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
2410lmodring 19065 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
2726, 13ringidcl 18760 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2926, 12grpinvcl 17660 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 37383 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
3230, 31eleqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 37388 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 37381 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 37393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg𝑅))
38 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 37392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝑅))
4037, 39fveq12d 6350 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺))
4241fveq1d 6346 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋))
43 eqid 2752 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
441, 17, 3dvhlmod 36893 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4519lmodring 19065 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 18744 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 19084 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5121, 36grpinvcl 17660 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 37387 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 37379 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 18787 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5642, 53, 553eqtrd 2790 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5756oveq2d 6821 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 37379 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6021, 20, 36, 59grpsubval 17658 . . . 4 (((𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6158, 54, 60syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6257, 61eqtr4d 2789 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
6316, 35, 623eqtrd 2790 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  .rcmulr 16136  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  Grpcgrp 17615  invgcminusg 17616  -gcsg 17617  1rcur 18693  Ringcrg 18739  LModclmod 19057  HLchlt 35132  LHypclh 35765  DVecHcdvh 36861  LCDualclcd 37369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-riotaBAD 34734 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-undef 7560  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-0g 16296  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-p1 17233  df-lat 17239  df-clat 17301  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-oppg 17968  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lvec 19297  df-lsatoms 34758  df-lshyp 34759  df-lcv 34801  df-lfl 34840  df-lkr 34868  df-ldual 34906  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-lplanes 35280  df-lvols 35281  df-lines 35282  df-psubsp 35284  df-pmap 35285  df-padd 35577  df-lhyp 35769  df-laut 35770  df-ldil 35885  df-ltrn 35886  df-trl 35941  df-tgrp 36525  df-tendo 36537  df-edring 36539  df-dveca 36785  df-disoa 36812  df-dvech 36862  df-dib 36922  df-dic 36956  df-dih 37012  df-doch 37131  df-djh 37178  df-lcdual 37370 This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  37706
 Copyright terms: Public domain W3C validator