MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 24947
Description: Lemma for lgsdir2 24950. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 11136 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 12629 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8cn 11051 . . . . 5 8 ∈ ℂ
6 ax-1cn 9939 . . . . 5 1 ∈ ℂ
7 7cn 11049 . . . . 5 7 ∈ ℂ
86, 7addcomi 10172 . . . . . 6 (1 + 7) = (7 + 1)
9 df-8 11030 . . . . . 6 8 = (7 + 1)
108, 9eqtr4i 2651 . . . . 5 (1 + 7) = 8
115, 6, 7, 10subaddrii 10315 . . . 4 (8 − 1) = 7
1211oveq2i 6616 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
134, 12syl6eleq 2714 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
14 neg1z 11358 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
15 2z 11354 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 dvds0 14916 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
18 1pneg1e0 11074 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
19 neg1cn 11069 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
206, 19addcomi 10172 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
2118, 20eqtr3i 2650 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
2217, 21breqtri 4643 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
23 noel 3900 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
2423pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
25 neg1lt0 11072 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
26 0z 11333 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
27 fzn 12296 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2826, 14, 27mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2925, 28mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
3024, 29eleq2s 2722 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3214, 22, 313pm3.2i 1237 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
33 1e0p1 11496 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
34 ssun1 3759 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 1ex 9980 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3635prid1 4272 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3734, 36sselii 3585 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 24946 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-2 11024 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
40 df-3 11025 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
41 ssun2 3760 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
42 3ex 11041 . . . . . . . 8 3 ∈ V
4342prid1 4272 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
4441, 43sselii 3585 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 24946 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-4 11026 . . . . 5 4 = (3 + 1)
47 df-5 11027 . . . . 5 5 = (4 + 1)
48 5nn 11133 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4948elexi 3204 . . . . . . 7 5 ∈ V
5049prid2 4273 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
5141, 50sselii 3585 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 24946 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53 df-6 11028 . . . 4 6 = (5 + 1)
54 df-7 11029 . . . 4 7 = (6 + 1)
55 7nn 11135 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
5655elexi 3204 . . . . . 6 7 ∈ V
5756prid2 4273 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5834, 57sselii 3585 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 24946 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
6059simp3i 1070 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
6113, 60mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cun 3558  c0 3896  {cpr 4155   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cmin 10211  -cneg 10212  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  5c5 11018  6c6 11019  7c7 11020  8c8 11021  cz 11322  ...cfz 12265   mod cmo 12605  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fl 12530  df-mod 12606  df-dvds 14903
This theorem is referenced by:  lgsdir2  24950  2lgslem3  25024  2lgsoddprmlem3  25034
  Copyright terms: Public domain W3C validator