MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 25097
Description: Lemma for lgsdir2 25100. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 11229 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 12732 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8cn 11144 . . . . 5 8 ∈ ℂ
6 ax-1cn 10032 . . . . 5 1 ∈ ℂ
7 7cn 11142 . . . . 5 7 ∈ ℂ
86, 7addcomi 10265 . . . . . 6 (1 + 7) = (7 + 1)
9 df-8 11123 . . . . . 6 8 = (7 + 1)
108, 9eqtr4i 2676 . . . . 5 (1 + 7) = 8
115, 6, 7, 10subaddrii 10408 . . . 4 (8 − 1) = 7
1211oveq2i 6701 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
134, 12syl6eleq 2740 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
14 neg1z 11451 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
15 2z 11447 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 dvds0 15044 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
18 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
19 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
206, 19addcomi 10265 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
2118, 20eqtr3i 2675 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
2217, 21breqtri 4710 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
23 noel 3952 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
2423pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
25 neg1lt0 11165 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
26 0z 11426 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
27 fzn 12395 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2826, 14, 27mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2925, 28mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
3024, 29eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3214, 22, 313pm3.2i 1259 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
33 1e0p1 11590 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
34 ssun1 3809 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3635prid1 4329 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3734, 36sselii 3633 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 25096 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-2 11117 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
40 df-3 11118 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
41 ssun2 3810 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
42 3ex 11134 . . . . . . . 8 3 ∈ V
4342prid1 4329 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
4441, 43sselii 3633 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 25096 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-4 11119 . . . . 5 4 = (3 + 1)
47 df-5 11120 . . . . 5 5 = (4 + 1)
48 5nn 11226 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4948elexi 3244 . . . . . . 7 5 ∈ V
5049prid2 4330 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
5141, 50sselii 3633 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 25096 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53 df-6 11121 . . . 4 6 = (5 + 1)
54 df-7 11122 . . . 4 7 = (6 + 1)
55 7nn 11228 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
5655elexi 3244 . . . . . 6 7 ∈ V
5756prid2 4330 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5834, 57sselii 3633 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 25096 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
6059simp3i 1092 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
6113, 60mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  cz 11415  ...cfz 12364   mod cmo 12708  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  lgsdir2  25100  2lgslem3  25174  2lgsoddprmlem3  25184
  Copyright terms: Public domain W3C validator