HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii 27163
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm-iii ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)))

Proof of Theorem norm-iii
StepHypRef Expression
1 oveq1 6438 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
21fveq2d 5996 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
3 fveq2 5992 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
43oveq1d 6446 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)))
52, 4eqeq12d 2529 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵))))
6 oveq2 6439 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
76fveq2d 5996 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
8 fveq2 5992 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
98oveq2d 6447 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
107, 9eqeq12d 2529 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm𝐵)) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
11 0cn 9791 . . . 4 0 ∈ ℂ
1211elimel 4003 . . 3 if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
13 ifhvhv0 27045 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
1412, 13norm-iii-i 27162 . 2 (norm‘(if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) · (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
155, 10, 14dedth2h 3993 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  ifcif 3939  cfv 5694  (class class class)co 6431  cc 9693  0cc0 9695   · cmul 9700  abscabs 13684  chil 26942   · csm 26944  normcno 26946  0c0v 26947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-cnex 9751  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-pre-mulgt0 9772  ax-pre-sup 9773  ax-hv0cl 27026  ax-hfvmul 27028  ax-hvmul0 27033  ax-hfi 27102  ax-his1 27105  ax-his3 27107  ax-his4 27108
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-om 6839  df-2nd 6940  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-sup 8111  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-xr 9837  df-ltxr 9838  df-le 9839  df-sub 10022  df-neg 10023  df-div 10437  df-nn 10779  df-2 10837  df-3 10838  df-n0 11051  df-z 11122  df-uz 11431  df-rp 11578  df-seq 12535  df-exp 12594  df-cj 13549  df-re 13550  df-im 13551  df-sqrt 13685  df-abs 13686  df-hnorm 26991
This theorem is referenced by:  hhnv  27188  norm1  27272  hhssnv  27287  nmbdoplbi  28049  nmcexi  28051  nmcopexi  28052  nmcoplbi  28053  nmophmi  28056  nmopcoi  28120  strlem1  28275
  Copyright terms: Public domain W3C validator