MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1d 12826
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expp1d (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 expcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 expp1 12684 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  0cn0 11139  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  facubnd  12904  hashmap  13034  binomlem  14346  incexclem  14353  geoserg  14383  cvgrat  14400  efcllem  14593  oexpneg  14853  pwp1fsum  14898  bitsp1  14937  bitsmod  14942  bitsinv1lem  14947  sadcaddlem  14963  sadadd2lem  14965  rplpwr  15060  eulerthlem2  15271  prmdiv  15274  vfermltlALT  15291  pcprendvds2  15330  pcpremul  15332  prmpwdvds  15392  2expltfac  15583  plyco  23718  dgrcolem1  23750  ftalem5  24520  bposlem5  24730  pntlemq  25007  pntlemr  25008  pntlemj  25009  ostth2lem2  25040  ostth2lem3  25041  ex-ind-dvds  26476  nexple  29205  faclimlem3  30690  faclim2  30693  nn0prpwlem  31293  mzpexpmpt  36122  pell14qrexpclnn0  36244  expmordi  36326  jm2.17a  36341  jm2.17b  36342  jm2.17c  36343  jm2.18  36369  cnsrexpcl  36550  inductionexd  37269  binomcxplemnotnn0  37373  stoweidlem3  38693  stoweidlem19  38709  stirlinglem4  38767  stirlinglem7  38770  etransclem23  38947  sqrtpwpw2p  39786  fmtnorec2lem  39790  fmtnorec4  39797  fmtnoprmfac1lem  39812  fmtnoprmfac2  39815  fmtnofac1  39818  lighneallem3  39860  oexpnegALTV  39924  tgoldbachlt  40028  tgoldbachltOLD  40035  rusgrnumwwlks  41172  dignn0flhalflem2  42203  dignn0ehalf  42204  nn0sumshdiglemA  42206  nn0sumshdiglemB  42207
  Copyright terms: Public domain W3C validator