Theorem expp1d 13512

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expp1 13437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  expmordi  13532  facubnd  13661  hashmap  13797  binomlem  15184  incexclem  15191  geoserg  15221  cvgrat  15239  efcllem  15431  oexpneg  15694  pwp1fsum  15742  bitsp1  15780  bitsmod  15785  bitsinv1lem  15790  sadcaddlem  15806  sadadd2lem  15808  rplpwr  15907  eulerthlem2  16119  prmdiv  16122  vfermltlALT  16139  pcprendvds2  16178  pcpremul  16180  prmpwdvds  16240  2expltfac  16426  plyco  24831  dgrcolem1  24863  ftalem5  25654  bposlem5  25864  pntlemq  26177  pntlemr  26178  pntlemj  26179  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  rusgrnumwwlks  27753  ex-ind-dvds  28240  nexple  31268  faclimlem3  32977  faclim2  32980  nn0prpwlem  33670  3cubeslem2  39331  3cubeslem3l  39332  3cubeslem3r  39333  mzpexpmpt  39391  pell14qrexpclnn0  39512  jm2.17a  39606  jm2.17b  39607  jm2.17c  39608  jm2.18  39634  cnsrexpcl  39814  inductionexd  40554  binomcxplemnotnn0  40737  stoweidlem3  42337  stoweidlem19  42353  stirlinglem4  42411  stirlinglem7  42414  etransclem23  42591  sqrtpwpw2p  43749  fmtnorec2lem  43753  fmtnorec4  43760  fmtnoprmfac1lem  43775  fmtnoprmfac2  43778  fmtnofac1  43781  lighneallem3  43821  oexpnegALTV  43891  fppr2odd  43945  tgoldbachlt  44030  dignn0flhalflem2  44725  dignn0ehalf  44726  nn0sumshdiglemA  44728  nn0sumshdiglemB  44729