HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsi 28109
Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omls.1 𝐴C
omls.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
omlsi ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2625 . 2 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = 𝐵))
2 eqeq2 2632 . 2 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
3 omls.1 . . . 4 𝐴C
4 h0elch 27958 . . . 4 0C
53, 4keepel 4127 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ∈ C
6 omls.2 . . . 4 𝐵S
7 h0elsh 27959 . . . 4 0S
86, 7keepel 4127 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∈ S
9 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
10 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0)))
1110ineq2d 3792 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
1211eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
139, 12anbi12d 746 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
14 sseq2 3606 . . . . . 6 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
15 ineq1 3785 . . . . . . 7 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
1615eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
1714, 16anbi12d 746 . . . . 5 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
18 sseq1 3605 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (0 ⊆ 0 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0))
19 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (⊥‘0) = (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0)))
2019ineq2d 3792 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (0 ∩ (⊥‘0)) = (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
2120eqeq1d 2623 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((0 ∩ (⊥‘0)) = 0 ↔ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
2218, 21anbi12d 746 . . . . 5 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((0 ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘0)) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
23 sseq2 3606 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
24 ineq1 3785 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
2524eqeq1d 2623 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
2623, 25anbi12d 746 . . . . 5 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
27 ssid 3603 . . . . . 6 0 ⊆ 0
28 ocin 28001 . . . . . . 7 (0S → (0 ∩ (⊥‘0)) = 0)
297, 28ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∩ (⊥‘0)) = 0
3027, 29pm3.2i 471 . . . . 5 (0 ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘0)) = 0)
3113, 17, 22, 26, 30elimhyp2v 4119 . . . 4 (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)
3231simpli 474 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)
3331simpri 478 . . 3 (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0
345, 8, 32, 33omlsii 28108 . 2 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)
351, 2, 34dedth2v 4115 1 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  ifcif 4058  cfv 5847   S csh 27631   C cch 27632  cort 27633  0c0h 27638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lm 20943  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956
This theorem is referenced by:  pjomli  28140
  Copyright terms: Public domain W3C validator