Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op1cl 33987
Description: An orthoposet has a unit element. (helch 27970 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op1cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op1cl (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)

Proof of Theorem op1cl
StepHypRef Expression
1 op1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 op1cl.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3p1val 16974 . 2 (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2621 . . . . 5 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
71, 2, 6op01dm 33985 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simpld 475 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
91, 2, 5, 8lubcl 16917 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2698 1 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  dom cdm 5079  cfv 5852  Basecbs 15792  lubclub 16874  glbcglb 16875  1.cp1 16970  OPcops 33974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-lub 16906  df-p1 16972  df-oposet 33978
This theorem is referenced by:  op1le  33994  glb0N  33995  opoc1  34004  opoc0  34005  olm11  34029  olm12  34030  ncvr1  34074  hlhgt2  34190  hl0lt1N  34191  hl2at  34206  athgt  34257  1cvrco  34273  1cvrjat  34276  pmap1N  34568  pol1N  34711  lhp2lt  34802  lhpexnle  34807  dih1  36090  dih1rn  36091  dih1cnv  36092  dihglb2  36146  dochocss  36170  dihjatc  36221
  Copyright terms: Public domain W3C validator