Theorem op1cl 36336

Description: An orthoposet has a unit element. (helch 29020 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op1cl.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1cl	⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem op1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		op1cl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p1val 17652	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 = ((lub‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 2, 6	op01dm 36334	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
8	7	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
9	1, 2, 5, 8	lubcl 17595	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ((lub‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
10	4, 9	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  lubclub 17552  glbcglb 17553  1.cp1 17648  OPcops 36323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-lub 17584  df-p1 17650  df-oposet 36327

This theorem is referenced by:  op1le  36343  glb0N  36344  opoc1  36353  opoc0  36354  olm11  36378  olm12  36379  ncvr1  36423  hlhgt2  36540  hl0lt1N  36541  hl2at  36556  athgt  36607  1cvrco  36623  1cvrjat  36626  pmap1N  36918  pol1N  37061  lhp2lt  37152  lhpexnle  37157  dih1  38437  dih1rn  38438  dih1cnv  38439  dihglb2  38493  dochocss  38517  dihjatc  38568