MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 12596
Description: Alternate proof of quoremnn0 12595 not using quoremz 12594. TODO - Keep either quoremnn0ALT 12596 (if we don't keep quoremz 12594) or quoremnn0 12595. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 12563 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2syl5eqel 2702 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5 nnnn0 11243 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76, 3nn0mulcld 11300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
93nn0cnd 11297 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10 nncn 10972 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnne0 10997 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
149, 11, 13divcan3d 10750 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15 nn0nndivcl 11306 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16 flle 12540 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17syl5eqbr 4648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1914, 18eqbrtrd 4635 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
207nn0red 11296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21 nn0re 11245 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 nnre 10971 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 nngt0 10993 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27 lediv1 10832 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2919, 28mpbird 247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30 nn0sub2 11382 . . . 4 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1323 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
324, 31syl5eqel 2702 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
331oveq2i 6615 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34 fraclt1 12543 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3633, 35syl5eqbr 4648 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
374oveq1i 6614 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38 nn0cn 11246 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
407nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4110, 12jca 554 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4241adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43 divsubdir 10665 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4514oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4644, 45eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4737, 46syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4810, 12dividd 10743 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
4948adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 4645 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5132nn0red 11296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52 ltdiv1 10831 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1327 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5450, 53mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
554oveq2i 6615 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5640, 39pncan3d 10339 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5755, 56syl5req 2668 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5854, 57jca 554 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
593, 32, 58jca31 556 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cfl 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fl 12533
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator