MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnne0 11038
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 11037 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
2 eleq1 2687 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
31, 2mtbiri 317 . 2 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
43necon2ai 2820 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  0cc0 9921  cn 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006
This theorem is referenced by:  nndivre  11041  nndiv  11046  nndivtr  11047  nnne0d  11050  zdiv  11432  zdivadd  11433  zdivmul  11434  elq  11775  qmulz  11776  qre  11778  qaddcl  11789  qnegcl  11790  qmulcl  11791  qreccl  11793  rpnnen1lem5  11803  rpnnen1lem5OLD  11809  nn0ledivnn  11926  fzo1fzo0n0  12502  quoremz  12637  quoremnn0ALT  12639  intfracq  12641  fldiv  12642  fldiv2  12643  modmulnn  12671  modsumfzodifsn  12726  expnnval  12846  expneg  12851  digit2  12980  facdiv  13057  facndiv  13058  bcm1k  13085  bcp1n  13086  bcval5  13088  hashnncl  13140  cshwidxmod  13530  relexpsucnnr  13746  divcnv  14566  harmonic  14572  expcnv  14577  ef0lem  14790  ruclem6  14945  sqrt2irr  14960  dvdsval3  14968  nndivdvds  14970  modmulconst  14994  dvdsdivcl  15019  dvdsflip  15020  divalg2  15109  divalgmod  15110  divalgmodOLD  15111  ndvdssub  15114  nndvdslegcd  15208  divgcdz  15214  divgcdnn  15217  modgcd  15234  gcddiv  15249  gcdzeq  15252  eucalgf  15277  eucalginv  15278  lcmgcdlem  15300  lcmftp  15330  qredeq  15352  qredeu  15353  cncongr1  15362  cncongr2  15363  divgcdodd  15403  isprm6  15407  divnumden  15437  divdenle  15438  phimullem  15465  hashgcdlem  15474  phisum  15476  prm23lt5  15500  pythagtriplem10  15506  pythagtriplem8  15509  pythagtriplem9  15510  pythagtriplem19  15519  pccl  15535  pcdiv  15538  pcqcl  15542  pcdvds  15549  pcndvds  15551  pcndvds2  15553  pceq0  15556  pcneg  15559  pcz  15566  pcmpt  15577  fldivp1  15582  pcfac  15584  oddprmdvds  15588  infpnlem2  15596  cshwshashlem1  15783  mulgnn  17528  mulgnegnn  17532  mulgmodid  17562  oddvdsnn0  17944  odmulgeq  17955  gexnnod  17984  cply1coe0  19650  cply1coe0bi  19651  qsssubdrg  19786  prmirredlem  19822  znf1o  19881  znhash  19888  znidomb  19891  znunithash  19894  znrrg  19895  m2cpm  20527  m2cpminvid2lem  20540  fvmptnn04ifc  20638  vitali  23363  mbfi1fseqlem3  23465  dvexp2  23698  plyeq0lem  23947  abelthlem9  24175  logtayllem  24386  logtayl  24387  logtaylsum  24388  logtayl2  24389  cxpexp  24395  cxproot  24417  root1id  24476  root1eq1  24477  cxpeq  24479  atantayl  24645  atantayl2  24646  leibpilem2  24649  leibpi  24650  birthdaylem2  24660  birthdaylem3  24661  dfef2  24678  emcllem2  24704  emcllem3  24705  zetacvg  24722  lgam1  24771  basellem4  24791  basellem5  24792  basellem8  24795  basellem9  24796  mumullem2  24887  fsumdvdscom  24892  chtublem  24917  dchrelbas4  24949  bclbnd  24986  lgsval4a  25025  lgsabs1  25042  lgssq2  25044  dchrmusumlema  25163  dchrmusum2  25164  dchrvmasumiflem1  25171  dchrvmaeq0  25174  dchrisum0flblem1  25178  dchrisum0flblem2  25179  dchrisum0re  25183  ostthlem1  25297  ostth1  25303  pthdlem2lem  26644  wspthsnonn0vne  26794  clwwisshclwwslem  26907  numclwwlkffin0  27187  ipasslem4  27659  ipasslem5  27660  divnumden2  29538  qqhval2  30000  qqhnm  30008  signstfveq0  30628  subfacp1lem6  31141  circum  31542  fz0n  31591  divcnvlin  31593  iprodgam  31603  faclim  31607  nndivsub  32431  poimirlem29  33409  poimirlem31  33411  poimirlem32  33412  heiborlem4  33584  heiborlem6  33586  pellexlem1  37212  congrep  37359  jm2.20nn  37383  proot1ex  37598  hashnzfzclim  38341  binomcxplemnotnn0  38375  nnne1ge2  39317  mccllem  39629  clim1fr1  39633  dvnxpaek  39920  dvnprodlem2  39925  wallispilem5  40049  wallispi2lem1  40051  stirlinglem1  40054  stirlinglem3  40056  stirlinglem4  40057  stirlinglem5  40058  stirlinglem7  40060  stirlinglem10  40063  stirlinglem12  40065  stirlinglem14  40067  stirlinglem15  40068  fouriersw  40211  vonioolem2  40658  vonicclem2  40661  iccpartiltu  41122  divgcdoddALTV  41358  nnsgrpnmnd  41583  eluz2cnn0n1  42066  mod0mul  42079  modn0mul  42080  blennn  42134  nnpw2blen  42139  digvalnn0  42158  nn0digval  42159  dignn0fr  42160  dignn0ldlem  42161  dig0  42165
  Copyright terms: Public domain W3C validator