MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefacval2 14661
Description: One-based value of rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefacval2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem risefacval2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risefacval 14659 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛))
2 1zzd 11353 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3 0zd 11334 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4 nn0z 11345 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2zm 11365 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12371 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11298 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11 addcl 9963 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
128, 10, 11syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
13 oveq2 6613 . . 3 (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴 + 𝑛) = (𝐴 + (𝑘 − 1)))
142, 3, 7, 12, 13fprodshft 14626 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)))
15 0p1e1 11077 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17 nn0cn 11247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 1cnd 10001 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18npcand 10341 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2019adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2116, 20oveq12d 6623 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
2221prodeq1d 14571 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
231, 14, 223eqtrd 2664 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  0cn0 11237  cz 11322  ...cfz 12265  cprod 14555   RiseFac crisefac 14656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556  df-risefac 14657
This theorem is referenced by:  risefallfac  14675  risefacfac  14686
  Copyright terms: Public domain W3C validator