MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefacval2 14936
Description: One-based value of rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefacval2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem risefacval2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risefacval 14934 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛))
2 1zzd 11596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3 0zd 11577 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4 nn0z 11588 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2zm 11608 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76adantl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12622 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11541 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11 addcl 10206 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
128, 10, 11syl2an 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 + 𝑛) ∈ ℂ)
13 oveq2 6817 . . 3 (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴 + 𝑛) = (𝐴 + (𝑘 − 1)))
142, 3, 7, 12, 13fprodshft 14901 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)))
15 0p1e1 11320 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17 nn0cn 11490 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 1cnd 10244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18npcand 10584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2019adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2116, 20oveq12d 6827 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
2221prodeq1d 14846 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
231, 14, 223eqtrd 2794 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 + (𝑘 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  (class class class)co 6809  cc 10122  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127  cmin 10454  0cn0 11480  cz 11565  ...cfz 12515  cprod 14830   RiseFac crisefac 14931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-prod 14831  df-risefac 14932
This theorem is referenced by:  risefallfac  14950  risefacfac  14961
  Copyright terms: Public domain W3C validator