Theorem fallfacval2 15345

Description: One-based value of falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fallfacval 15343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑛))
2		1zzd 11995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3		0zd 11975	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4		nn0z 11987	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		peano2zm 12007	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		elfznn0 12985	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 11939	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11		subcl 10866	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑛) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 − 𝑛) ∈ ℂ)
13		oveq2 7145	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴 − 𝑛) = (𝐴 − (𝑘 − 1)))
14	2, 3, 7, 12, 13	fprodshft 15310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 − 𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))
15		0p1e1 11741	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17		nn0cn 11889	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
18		1cnd 10617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
19	17, 18	npcand 10982	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
20	19	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	16, 20	oveq12d 7155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
22	21	prodeq1d 15255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
23	1, 14, 22	3eqtrd 2859	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7137  ℂcc 10516  0cc0 10518  1c1 10519   + caddc 10521   − cmin 10851  ℕ₀cn0 11879  ℤcz 11963  ...cfz 12877  ∏cprod 15239   FallFac cfallfac 15338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-inf2 9085  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595  ax-pre-sup 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-oadd 8087  df-er 8270  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-sup 8887  df-oi 8955  df-card 9349  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-div 11279  df-nn 11620  df-2 11682  df-3 11683  df-n0 11880  df-z 11964  df-uz 12226  df-rp 12372  df-fz 12878  df-fzo 13019  df-seq 13355  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-prod 15240  df-fallfac 15341

This theorem is referenced by:  risefallfac  15358  fallfacfwd  15370