MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval2 14667
Description: One-based value of falling factorial. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fallfacval2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fallfacval 14665 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑛))
2 1zzd 11352 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
3 0zd 11333 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
4 nn0z 11344 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 peano2zm 11364 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
76adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
8 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12374 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11297 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℂ)
11 subcl 10224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
128, 10, 11syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
13 oveq2 6612 . . 3 (𝑛 = (𝑘 − 1) → (𝐴𝑛) = (𝐴 − (𝑘 − 1)))
142, 3, 7, 12, 13fprodshft 14631 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑛) = ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)))
15 0p1e1 11076 . . . . 5 (0 + 1) = 1
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 + 1) = 1)
17 nn0cn 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 1cnd 10000 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18npcand 10340 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2019adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2116, 20oveq12d 6622 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
2221prodeq1d 14576 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))(𝐴 − (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
231, 14, 223eqtrd 2659 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴 − (𝑘 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  cprod 14560   FallFac cfallfac 14660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-fallfac 14663
This theorem is referenced by:  risefallfac  14680  fallfacfwd  14692
  Copyright terms: Public domain W3C validator