Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxds 23381
 Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Compare with df-rrn 33938. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxds (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23375 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6356 . 2 (𝐼𝑉 → (dist‘𝐻) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 recrng 20169 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
5 srngring 19054 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
7 eqid 2760 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
87frlmlmod 20295 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
96, 8mpan 708 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
10 lmodgrp 19072 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
11 eqid 2760 . . . 4 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 eqid 2760 . . . 4 (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
13 eqid 2760 . . . 4 (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1411, 12, 13tchds 23230 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
159, 10, 143syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 13grpsubf 17695 . . . . . . 7 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
189, 10, 173syl 18 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19 rrxbase.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐻)
201, 19rrxbase 23376 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝐵 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
21 rebase 20154 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
22 re0g 20160 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℝfld)
23 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
247, 21, 22, 23frlmbas 20301 . . . . . . . . . 10 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
256, 24mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2620, 25eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2726sqxpeqd 5298 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2827, 26feq23d 6201 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2918, 28mpbird 247 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
3029fovrnda 6970 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) ∈ 𝐵)
31 ffn 6206 . . . . . 6 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
3229, 31syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
33 fnov 6933 . . . . 5 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
3432, 33sylib 208 . . . 4 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
351, 19rrxnm 23379 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
362fveq2d 6356 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
3735, 36eqtr2d 2795 . . . 4 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))))
38 fveq1 6351 . . . . . . . 8 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥) = ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥))
3938oveq1d 6828 . . . . . . 7 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → ((𝑥)↑2) = (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))
4039mpteq2dv 4897 . . . . . 6 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))
4140oveq2d 6829 . . . . 5 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))
4241fveq2d 6356 . . . 4 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))))
4330, 34, 37, 42fmpt2co 7428 . . 3 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))))
44 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼𝑉)
45 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
4626adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4745, 46eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
48473impb 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
497, 21, 16frlmbasmap 20305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5044, 48, 49syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
51 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
53 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶ℝ → 𝑓 Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 Fn 𝐼)
55 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5655, 46eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
57563impb 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
587, 21, 16frlmbasmap 20305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5944, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
60 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
62 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐼⟶ℝ → 𝑔 Fn 𝐼)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 Fn 𝐼)
64 inidm 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
65 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
66 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6754, 63, 44, 44, 64, 65, 66offval 7069 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
686a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ℝfld ∈ Ring)
69 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑉)
70 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
717, 16, 68, 69, 47, 56, 70, 13frlmsubgval 20310 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
72713impb 1108 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
7352ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7461ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7570resubgval 20157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7673, 74, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7776mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
7867, 72, 773eqtr4d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))))
7973, 74resubcld 10650 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
8078, 79fvmpt2d 6455 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)))
8180oveq1d 6828 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2) = (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
8281mpteq2dva 4896 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
8382oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))
8483fveq2d 6356 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
8584mpt2eq3dva 6884 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
8643, 85eqtrd 2794 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
873, 15, 863eqtr2rd 2801 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815   ∘𝑓 cof 7060   ↑𝑚 cmap 8023   finSupp cfsupp 8440  ℝcr 10127  0cc0 10128   − cmin 10458  2c2 11262  ↑cexp 13054  √csqrt 14172  Basecbs 16059  distcds 16152   Σg cgsu 16303  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  Ringcrg 18747  *-Ringcsr 19046  LModclmod 19065  ℝfldcrefld 20152   freeLMod cfrlm 20292  normcnm 22582  toℂHilctch 23167  ℝ^crrx 23371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-nm 22588  df-tng 22590  df-tch 23169  df-rrx 23373 This theorem is referenced by:  rrxmval  23388  rrxmfval  23389  rrxtopn  41004  rrxdsfi  41008
 Copyright terms: Public domain W3C validator