Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxdsfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfi 39828
 Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Finite dimensional case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxdsfi.b 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrxdsfi (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑓,𝐻,𝑔,𝑘   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxdsfi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
2 rrxdsfi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
3 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
41, 2, 3rrxbasefi 39826 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐻) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 rrxdsfi.b . . . . . 6 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
65eqcomi 2630 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐵
76a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐵)
84, 7eqtr2d 2656 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐵 = (Base‘𝐻))
98adantr 481 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝐻))
10 df-refld 19873 . . . . . . . . 9 fld = (ℂflds ℝ)
1110oveq1i 6617 . . . . . . . 8 (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1211a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
13 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
14 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1614, 15eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
17163adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
18 elmapi 7826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ ℝ)
21 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔𝐵)
225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2321, 22eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
24233adant2 1078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
25 elmapi 7826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2726ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑔𝑘) ∈ ℝ)
2820, 27resubcld 10405 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) ∈ ℝ)
2928resqcld 12978 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ ℝ)
3013, 29regsumfsum 19736 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
3112, 30eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
3231eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
3332fveq2d 6154 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
34333expb 1263 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
358, 9, 34mpt2eq123dva 6672 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))))
362, 3rrxds 23094 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑓 ∈ (Base‘𝐻), 𝑔 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑘𝐼 ↦ (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))) = (dist‘𝐻))
3735, 36eqtr2d 2656 1 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝐻) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ↦ cmpt 4675  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609   ↑𝑚 cmap 7805  Fincfn 7902  ℝcr 9882   − cmin 10213  2c2 11017  ↑cexp 12803  √csqrt 13910  Σcsu 14353  Basecbs 15784   ↾s cress 15785  distcds 15874   Σg cgsu 16025  ℂfldccnfld 19668  ℝfldcrefld 19872  ℝ^crrx 23084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-prds 16032  df-pws 16034  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-dvr 18607  df-rnghom 18639  df-drng 18673  df-field 18674  df-subrg 18702  df-staf 18769  df-srng 18770  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-cnfld 19669  df-refld 19873  df-dsmm 19998  df-frlm 20013  df-nm 22300  df-tng 22302  df-tch 22882  df-rrx 23086 This theorem is referenced by:  rrndistlt  39833  qndenserrnopnlem  39840  rrndsmet  39845  ioorrnopnlem  39847  hoiqssbllem2  40160
 Copyright terms: Public domain W3C validator