Theorem scmatmhm 21143

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
scmatmhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19303	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	scmatsrng 21129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
11	10	subrgring 19538	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12		scmatmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
13	12	ringmgp 19303	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
14	9, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15		scmatrhmval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	6, 4, 15, 16, 17, 8	scmatf 21138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	4, 8, 10	scmatstrbas 21135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6501	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
24	4, 6, 7, 15, 16, 22, 23	scmatscmiddistr 21117	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
25	10, 23	ressmulr 16625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
26	9, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
27	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
28	27	oveqd 7173	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
29	24, 28	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
30		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	30	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33		3anass 1091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
34	32, 33	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
35	6, 22	ringcl 19311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
37	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 21136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
38	31, 36, 37	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
39	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 21136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
40	39	ad2ant2lr 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
41	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 21136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
42	41	ad2ant2l 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
43	40, 42	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
44	29, 38, 43	3eqtr4d 2866	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
45	44	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
46		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	6, 46	ringidcl 19318	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
48	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 21136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
49	30, 47, 48	syl2anc2 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
50	4	matsca2 21029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
51	50	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	51	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ))
53	4	matlmod 21038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
54	4	matring 21052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	5, 15	ringidcl 19318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
59	5, 57, 16, 58	lmodvs1 19662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
60	53, 56, 59	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
61	52, 60	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = 1 )
62	49, 61	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
63	10, 15	subrg1 19545	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r‘𝑆))
64	9, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝑆))
65	62, 64	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
66	21, 45, 65	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆)))
67	1, 6	mgpbas 19245	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
68		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
69	12, 68	mgpbas 19245	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
70	1, 22	mgpplusg 19243	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
71		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
72	12, 71	mgpplusg 19243	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑇)
73	1, 46	ringidval 19253	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
74		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
75	12, 74	ringidval 19253	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
76	67, 69, 70, 72, 73, 75	ismhm 17958	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))))
77	3, 14, 66, 76	syl21anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  mulGrpcmgp 19239  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  SubRingcsubrg 19531  LModclmod 19634   Mat cmat 21016   ScMat cscmat 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-dmat 21099  df-scmat 21100

This theorem is referenced by:  scmatrhm  21144