Theorem sharhght 43142

Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sharhght.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))

Assertion

Ref	Expression
sharhght	⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sharhght

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sharhght.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
6		sharhght.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0))
7	6	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	7, 3	subcld 10997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
10		sharhght.sigar	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
11	10	sigarim 43128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
12	5, 9, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10669	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	mul01d 10839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0) = 0)
15	1	simp2d 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
18	16, 17	subeq0bd 11066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
19	18	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · 0))
20	2, 15	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	7, 15	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
24	10	sigarval 43127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
25	21, 23, 24	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))))
26	7	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	17	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
28	26, 27	subeq0bd 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = 0)
29	28	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0))
30	21	cjcld 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 10839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · 0) = 0)
32	29, 31	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵)) = 0)
33	32	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶 − 𝐵)) · (𝐷 − 𝐵))) = (ℑ‘0))
34		0red 10644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
35	34	reim0d 14584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
36	25, 33, 35	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) = 0)
37	36	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = (0 · (𝐴 − 𝐷)))
38	3	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38, 26	subcld 10997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
40	39	mul02d 10838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)) = 0)
42	14, 19, 41	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
43	2	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	15	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	3	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	npncand 11021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
47	46	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
48	43, 44	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ)
50	44, 45	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
51	10	sigaraf 43130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝐵 − 𝐴))𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
53	47, 52	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
54	6	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
55	54	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = 0)
56	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	10	sigarperm 43137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
58	45, 44, 56, 57	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷)𝐺(𝐵 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
59	55, 58	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
60	59	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴))))
61	10	sigarim 43128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
62	48, 49, 61	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) ∈ ℂ)
64	63	addid1d 10840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) + 0) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
65	53, 60, 64	3eqtr2d 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)))
66	44, 56	negsubdi2d 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐵))
67	66	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) = -(𝐵 − 𝐷))
68	67	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
69	44, 56	subcld 10997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℂ)
70		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
71	70	neqned 3023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐷)
72	44, 56, 71	subne0d 11006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵 − 𝐷) ≠ 0)
73	69, 69, 72	divnegd 11429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = (-(𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))
74	69, 72	dividd 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = 1)
75	74	negeqd 10880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
76	68, 73, 75	3eqtr2d 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) = -1)
77	76	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (-1 · (𝐴 − 𝐷)))
78	45, 56	subcld 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
79	78	mulm1d 11092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴 − 𝐷)) = -(𝐴 − 𝐷))
80	45, 56	negsubdi2d 11013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐴))
81	77, 79, 80	3eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = (𝐷 − 𝐴))
82	56, 44	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ)
83	82, 69, 78, 72	div32d 11439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷 − 𝐵) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐴 − 𝐷)) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
84	81, 83	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 − 𝐴) = ((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
85	84	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))))
86	56, 45, 44	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87	10, 86, 70, 55	sigardiv 43138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
88	10	sigarls 43134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
89	48, 82, 87, 88	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺((𝐷 − 𝐵) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
90	65, 85, 89	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))))
91	90	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)))
92	10	sigarim 43128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℝ)
93	92	recnd 10669	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
94	48, 82, 93	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) ∈ ℂ)
95	78, 69, 72	divcld 11416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℂ)
96	94, 95, 69	mulassd 10664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · ((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷))) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))))
97	78, 69, 72	divcan1d 11417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐴 − 𝐷))
98	97	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (((𝐴 − 𝐷) / (𝐵 − 𝐷)) · (𝐵 − 𝐷))) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
99	91, 96, 98	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))
100	42, 99	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐴)𝐺(𝐷 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐷 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ∗ccj 14455  ℑcim 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460

This theorem is referenced by:  cevathlem2  43145