MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetres2 22213
Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))

Proof of Theorem xmetres2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6258 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
21adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 simpr 476 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
42, 3ssexd 4838 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅 ∈ V)
5 xmetf 22181 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
7 xpss12 5158 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
83, 7sylancom 702 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
96, 8fssresd 6109 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ*)
10 ovres 6842 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1110adantl 481 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
1211eqeq1d 2653 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) = 0))
13 simpll 805 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simplr 807 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑅𝑋)
15 simprl 809 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑅)
1614, 15sseldd 3637 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑥𝑋)
17 simprr 811 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑅)
1814, 17sseldd 3637 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → 𝑦𝑋)
19 xmeteq0 22190 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1366 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
2112, 20bitrd 268 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅)) → ((𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
22 simpll 805 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
23 simplr 807 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑅𝑋)
24 simpr3 1089 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
2523, 24sseldd 3637 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑋)
26163adantr3 1242 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑋)
27183adantr3 1242 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑋)
28 xmettri2 22192 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
2922, 25, 26, 27, 28syl13anc 1368 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
30113adantr3 1242 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
31 simpr1 1087 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
3224, 31ovresd 6843 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) = (𝑧𝐷𝑥))
33 simpr2 1088 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
3424, 33ovresd 6843 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑧𝐷𝑦))
3532, 34oveq12d 6708 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
3629, 30, 353brtr4d 4717 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) ≤ ((𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑥) +𝑒 (𝑧(𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)))
374, 9, 21, 36isxmetd 22178 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111  cle 10113   +𝑒 cxad 11982  ∞Metcxmt 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-xr 10116  df-xmet 19787
This theorem is referenced by:  metres2  22215  xmetres  22216  xpsxmet  22232  xpsdsval  22233  xmetresbl  22289  tmsxms  22338  imasf1oxms  22341  metrest  22376  prdsxms  22382  tmsxpsval  22390  nrginvrcn  22543  divcn  22718  iitopon  22729  cncfmet  22758  cfilres  23140  dvlip2  23803  ftc1lem6  23849  ulmdvlem1  24199  ulmdvlem3  24201  abelth  24240  cxpcn3  24534  rlimcnp  24737  minvecolem4b  27862  minvecolem4  27864  ftc1cnnc  33614  blbnd  33716  ismtyres  33737  reheibor  33768
  Copyright terms: Public domain W3C validator