MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrebnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrebnd 11942
Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 mnflt 11901 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 11898 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
31, 2jca 554 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
4 nltpnft 11939 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5 ngtmnft 11941 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
64, 5orbi12d 745 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴)))
7 ianor 509 . . . . . 6 (¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ (¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞))
8 orcom 402 . . . . . 6 ((¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴))
97, 8bitr2i 265 . . . . 5 ((¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
106, 9syl6bb 276 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1110con2bid 344 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ ¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
12 elxr 11894 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13 3orass 1039 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
14 orcom 402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1513, 14bitri 264 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1612, 15sylbb 209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1716ord 392 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
1811, 17sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
193, 18impbid2 216 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cr 9879  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  xrre  11943  xrre2  11944  xrre3  11945  supxrre1  12103  elioc2  12178  elico2  12179  elicc2  12180  xblpnfps  22110  xblpnf  22111  isnghm3  22439  ovoliun  23180  ovolicopnf  23199  voliunlem3  23227  volsup  23231  itg2seq  23415  nmblore  27487  nmopre  28575  supxrgere  39010  supxrgelem  39014  supxrge  39015  suplesup  39016  infrpge  39028  limsupre  39274
  Copyright terms: Public domain W3C validator