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Theorem suplesup 39019
Description: If any element of 𝐴 can be approximated from below by members of 𝐵, then the supremum of 𝐴 is smaller or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suplesup.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup.c (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
Assertion
Ref Expression
suplesup (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem suplesup
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplesup.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 10027 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2syl6ss 3595 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12088 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = +∞)
8 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
9 peano2re 10153 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + 1) ∈ ℝ)
113adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 supxrunb2 12093 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
148, 13mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥)
16 breq1 4616 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (𝑟 < 𝑥 ↔ (𝑤 + 1) < 𝑥))
1716rexbidv 3045 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑤 + 1) → (∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥))
1817rspcva 3293 . . . . . . . . 9 (((𝑤 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑥𝐴 𝑟 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
1910, 15, 18syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥)
20 1rp 11780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
22 suplesup.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
2322r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
24 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (𝑥𝑦) = (𝑥 − 1))
2524breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 1 → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
2625rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧))
2726rspcva 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2821, 23, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
2928adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
30293adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧)
31 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥)
32 simp11r 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
332, 32sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
341sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
35 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3736adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
38373adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
39383ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
402, 39sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
41 suplesup.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
4241sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4342adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45443adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
46 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑤 + 1) < 𝑥)
47 simp1r 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ)
4934adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
50493adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5147, 48, 50ltaddsubd 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ((𝑤 + 1) < 𝑥𝑤 < (𝑥 − 1)))
5246, 51mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
53523ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < (𝑥 − 1))
54 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → (𝑥 − 1) < 𝑧)
5533, 40, 45, 53, 54xrlttrd 11934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵 ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
56553exp 1261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (𝑧𝐵 → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑤 < 𝑧)))
5731, 56reximdai 3006 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − 1) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
5830, 57mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴 ∧ (𝑤 + 1) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
59583exp 1261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6059adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 → ((𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)))
6160rexlimdv 3023 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐴 (𝑤 + 1) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧))
6219, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧)
632a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6463sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6564ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6643adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
67 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
6865, 66, 67xrltled 38950 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤𝑧)
6968ex 450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7069adantllr 754 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑤 < 𝑧𝑤𝑧))
7170reximdva 3011 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐵 𝑤 < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧))
7262, 71mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
7372ralrimiva 2960 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧)
74 supxrunb1 12092 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7541, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7675adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑧𝐵 𝑤𝑧 ↔ sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞))
7773, 76mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
787, 8, 773eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
796, 78xreqled 39010 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
80 supeq1 8295 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
81 xrsup0 12096 . . . . . . . 8 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
8380, 82eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
8483adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
85 supxrcl 12088 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8641, 85syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87 mnfle 11913 . . . . . . 7 (sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
8988adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → -∞ ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9084, 89eqbrtrd 4635 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
9190adantlr 750 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
92 simpll 789 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
931adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
94 neqne 2798 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
9594adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
96 supxrgtmnf 12102 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9793, 95, 96syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
9897adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
99 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
100 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
101 nltpnft 11939 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
102100, 5, 1013syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10399, 102mtbid 314 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
104 notnotr 125 . . . . . . . 8 (¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
106105adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
10798, 106jca 554 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
10892, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109 xrrebnd 11942 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
110108, 109syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
111107, 110mpbird 247 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
112 nfv 1840 . . . . 5 𝑤(𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11341adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
114 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
115114adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
117116rphalfcld 11828 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
118115, 117ltsubrpd 11848 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ))
1193ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
120 rpre 11783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
121 2re 11034 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
123 2ne0 11057 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → 2 ≠ 0)
125120, 122, 124redivcld 10797 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
126125adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
127115, 126resubcld 10402 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1282, 127sseldi 3581 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
129 supxrlub 12098 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
130119, 128, 129syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥))
131118, 130mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
132 rphalfcl 11802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
1331323ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
134233adant2 1078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧)
135 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥𝑦) = (𝑥 − (𝑤 / 2)))
136135breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
137136rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧))
138137rspcva 3293 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 (𝑥𝑦) < 𝑧) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
139133, 134, 138syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+𝑥𝐴) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
140139ad5ant134 1310 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
141 recn 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
143120recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ)
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℂ)
145144halfcld 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
146142, 145, 145subsub4d 10367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))))
1471432halvesd 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2)) = 𝑤)
148147oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℝ+ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − ((𝑤 / 2) + (𝑤 / 2))) = (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤))
150146, 149eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
151150adantll 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
152151adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
153152ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) = ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)))
154127, 126resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
156155ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1572, 156sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
158120, 49sylanl2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
159125ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
160158, 159resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
161160adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
162161ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
1632, 162sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
164 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝜑)
165 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧𝐵)
166164, 165, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
167 simp-6r 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
168120ad5antlr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
169168rehalfcld 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
170167, 169resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
171 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥𝐴)
172164, 171, 34syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → 𝑥 ∈ ℝ)
173 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥)
174170, 172, 169, 173ltsub1dd 10583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < (𝑥 − (𝑤 / 2)))
175 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
176157, 163, 166, 174, 175xrlttrd 11934 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) − (𝑤 / 2)) < 𝑧)
177153, 176eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
178177ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
179178reximdva 3011 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → (∃𝑧𝐵 (𝑥 − (𝑤 / 2)) < 𝑧 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
180140, 179mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
181180ex 450 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
182181rexlimdva 3024 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐴 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − (𝑤 / 2)) < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧))
183131, 182mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐵 (sup(𝐴, ℝ*, < ) − 𝑤) < 𝑧)
184112, 113, 114, 183supxrgere 39013 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18592, 111, 184syl2anc 692 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18691, 185pm2.61dan 831 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18779, 186pm2.61dan 831 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777
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