ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nelop GIF version

Theorem 0nelop 4049
Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelop ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵

Proof of Theorem 0nelop
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 oprcl 3629 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 dfopg 3603 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
42, 3syl 14 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
51, 4eleqtrd 2163 . . 3 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
6 elpri 3454 . . 3 (∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
75, 6syl 14 . 2 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
82simpld 110 . . . . . 6 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ∈ V)
9 snnzg 3540 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
108, 9syl 14 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴} ≠ ∅)
1110necomd 2337 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴})
12 prnzg 3547 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
138, 12syl 14 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1413necomd 2337 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴, 𝐵})
1511, 14jca 300 . . 3 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}))
16 neanior 2338 . . 3 ((∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
1715, 16sylib 120 . 2 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
187, 17pm2.65i 601 1 ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  Vcvv 2615  c0 3275  {csn 3431  {cpr 3432  cop 3434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-nul 3276  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440
This theorem is referenced by:  0nelelxp  4439
  Copyright terms: Public domain W3C validator