Theorem 0nelop 4334

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	⊢ ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		oprcl 3881	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		dfopg 3855	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
5	1, 4	eleqtrd 2308	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
6		elpri 3689	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
8	2	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ∈ V)
9		snnzg 3784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴} ≠ ∅)
11	10	necomd 2486	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴})
12		prnzg 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
14	13	necomd 2486	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴, 𝐵})
15	11, 14	jca 306	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}))
16		neanior 2487	. . 3 ⊢ ((∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
17	15, 16	sylib 122	. 2 ⊢ (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
18	7, 17	pm2.65i 642	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799  ∅c0 3491  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-nul 3492  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  opwo0id  4335  0nelelxp  4748