ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0nelop GIF version

Theorem 0nelop 4170
Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelop ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵

Proof of Theorem 0nelop
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 oprcl 3729 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 dfopg 3703 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
42, 3syl 14 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
51, 4eleqtrd 2218 . . 3 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
6 elpri 3550 . . 3 (∅ ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
75, 6syl 14 . 2 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
82simpld 111 . . . . . 6 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐴 ∈ V)
9 snnzg 3640 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
108, 9syl 14 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴} ≠ ∅)
1110necomd 2394 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴})
12 prnzg 3647 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
138, 12syl 14 . . . . 5 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1413necomd 2394 . . . 4 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ∅ ≠ {𝐴, 𝐵})
1511, 14jca 304 . . 3 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → (∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}))
16 neanior 2395 . . 3 ((∅ ≠ {𝐴} ∧ ∅ ≠ {𝐴, 𝐵}) ↔ ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
1715, 16sylib 121 . 2 (∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ¬ (∅ = {𝐴} ∨ ∅ = {𝐴, 𝐵}))
187, 17pm2.65i 628 1 ¬ ∅ ∈ ⟨𝐴, 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  Vcvv 2686  c0 3363  {csn 3527  {cpr 3528  cop 3530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536
This theorem is referenced by:  0nelelxp  4568
  Copyright terms: Public domain W3C validator