ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0neqopab Unicode version

Theorem 0neqopab 5895
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4241 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 nfopab1 4056 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
43nfel2 2325 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
54nfn 1651 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
6 nfopab2 4057 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
76nfel2 2325 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
87nfn 1651 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
9 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
10 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
119, 10opnzi 4218 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
12 nesym 2385 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
13 pm2.21 612 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1412, 13sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1615adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
178, 16exlimi 1587 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
185, 17exlimi 1587 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
192, 18sylbi 120 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
201, 19pm2.65i 634 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    =/= wne 2340   (/)c0 3414   <.cop 3584   {copab 4047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-opab 4049
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator