Theorem 0neqopab 6123

Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
0neqopab	|- -. (/) e. { <. x , y >. | ph }

Proof of Theorem 0neqopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } -> (/) e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4395	. . 3 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) )
3		nfopab1 4195	. . . . . 6 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
4	3	nfel2 2405	. . . . 5 |- F/ x (/) e. { <. x , y >. | ph }
5	4	nfn 1710	. . . 4 |- F/ x -. (/) e. { <. x , y >. | ph }
6		nfopab2 4196	. . . . . . 7 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
7	6	nfel2 2405	. . . . . 6 |- F/ y (/) e. { <. x , y >. | ph }
8	7	nfn 1710	. . . . 5 |- F/ y -. (/) e. { <. x , y >. | ph }
9		vex 2824	. . . . . . . 8 |- x e. _V
10		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
11	9, 10	opnzi 4370	. . . . . . 7 |- <. x , y >. =/= (/)
12		nesym 2465	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. =/= (/) <-> -. (/) = <. x , y >. )
13		pm2.21 626	. . . . . . . 8 |- ( -. (/) = <. x , y >. -> ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } ) )
14	12, 13	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } ) )
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
17	8, 16	exlimi 1647	. . . 4 |- ( E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
18	5, 17	exlimi 1647	. . 3 |- ( E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
19	2, 18	sylbi 121	. 2 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
20	1, 19	pm2.65i 648	1 |- -. (/) e. { <. x , y >. | ph }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   <.cop 3708   {copab 4186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188

This theorem is referenced by: (None)