Theorem 0neqopab 5967

Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
0neqopab	⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}

Proof of Theorem 0neqopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} → ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
2		elopab 4292	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑))
3		nfopab1 4102	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
4	3	nfel2 2352	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
5	4	nfn 1672	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
6		nfopab2 4103	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
7	6	nfel2 2352	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
8	7	nfn 1672	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
9		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	9, 10	opnzi 4268	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅
12		nesym 2412	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		pm2.21 618	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
14	12, 13	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ∅ → (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
17	8, 16	exlimi 1608	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
18	5, 17	exlimi 1608	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(∅ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ 𝜑) → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
19	2, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ (∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} → ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
20	1, 19	pm2.65i 640	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3450  ⟨cop 3625  {copab 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095

This theorem is referenced by: (None)