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Theorem brabvv 5695
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brabvv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, y, X   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv
StepHypRef Expression
1 df-br 3846 . . . . . 6  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4085 . . . . . 6  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
31, 2bitri 182 . . . . 5  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 exsimpl 1553 . . . . . 6  |-  ( E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >. )
54eximi 1536 . . . . 5  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>. )
63, 5sylbi 119 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
)
7 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 4064 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
109biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
1110eqcoms 2091 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
12112eximi 1537 . . . 4  |-  ( E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
136, 12syl 14 . . 3  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
14 eeanv 1855 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  =  X  /\  y  =  Y )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1513, 14sylib 120 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y  y  =  Y
) )
16 isset 2625 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  E. x  x  =  X )
17 isset 2625 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  <->  E. y 
y  =  Y )
1816, 17anbi12i 448 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1915, 18sylibr 132 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3449   class class class wbr 3845   {copab 3898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900
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