Theorem brabvv 5857

Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brabvv	|- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3962	. . . . . 6 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4213	. . . . . 6 |- ( <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
3	1, 2	bitri 183	. . . . 5 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exsimpl 1594	. . . . . 6 |- ( E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
5	4	eximi 1577	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
7		vex 2712	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2712	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	opth 4192	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
10	9	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
11	10	eqcoms 2157	. . . . 5 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
12	11	2eximi 1578	. . . 4 |- ( E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
13	6, 12	syl 14	. . 3 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
14		eeanv 1909	. . 3 |- ( E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
15	13, 14	sylib 121	. 2 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
16		isset 2715	. . 3 |- ( X e. _V <-> E. x x = X )
17		isset 2715	. . 3 |- ( Y e. _V <-> E. y y = Y )
18	16, 17	anbi12i 456	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
19	15, 18	sylibr 133	1 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 2125   _Vcvv 2709   <.cop 3559   class class class wbr 3961   {copab 4020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022

This theorem is referenced by: (None)