Theorem brabvv 5899

Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brabvv	|- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3990	. . . . . 6 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4243	. . . . . 6 |- ( <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
3	1, 2	bitri 183	. . . . 5 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exsimpl 1610	. . . . . 6 |- ( E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
5	4	eximi 1593	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
7		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	opth 4222	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
10	9	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
11	10	eqcoms 2173	. . . . 5 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
12	11	2eximi 1594	. . . 4 |- ( E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
13	6, 12	syl 14	. . 3 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
14		eeanv 1925	. . 3 |- ( E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
15	13, 14	sylib 121	. 2 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
16		isset 2736	. . 3 |- ( X e. _V <-> E. x x = X )
17		isset 2736	. . 3 |- ( Y e. _V <-> E. y y = Y )
18	16, 17	anbi12i 457	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
19	15, 18	sylibr 133	1 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051

This theorem is referenced by: (None)