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Theorem brabvv 5943
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brabvv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, y, X   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv
StepHypRef Expression
1 df-br 4019 . . . . . 6  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4276 . . . . . 6  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
31, 2bitri 184 . . . . 5  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 exsimpl 1628 . . . . . 6  |-  ( E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >. )
54eximi 1611 . . . . 5  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>. )
63, 5sylbi 121 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
)
7 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
8 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 4255 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
109biimpi 120 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
1110eqcoms 2192 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
12112eximi 1612 . . . 4  |-  ( E. x E. y <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
136, 12syl 14 . . 3  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  E. x E. y
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
14 eeanv 1944 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  =  X  /\  y  =  Y )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1513, 14sylib 122 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y  y  =  Y
) )
16 isset 2758 . . 3  |-  ( X  e.  _V  <->  E. x  x  =  X )
17 isset 2758 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  <->  E. y 
y  =  Y )
1816, 17anbi12i 460 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  <->  ( E. x  x  =  X  /\  E. y 
y  =  Y ) )
1915, 18sylibr 134 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   class class class wbr 4018   {copab 4078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080
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