Theorem brabvv 5972

Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brabvv	|- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4035	. . . . . 6 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4293	. . . . . 6 |- ( <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exsimpl 1631	. . . . . 6 |- ( E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
5	4	eximi 1614	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
6	3, 5	sylbi 121	. . . 4 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
7		vex 2766	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2766	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	opth 4271	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
11	10	eqcoms 2199	. . . . 5 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
12	11	2eximi 1615	. . . 4 |- ( E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
13	6, 12	syl 14	. . 3 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
14		eeanv 1951	. . 3 |- ( E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
15	13, 14	sylib 122	. 2 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
16		isset 2769	. . 3 |- ( X e. _V <-> E. x x = X )
17		isset 2769	. . 3 |- ( Y e. _V <-> E. y y = Y )
18	16, 17	anbi12i 460	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
19	15, 18	sylibr 134	1 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   class class class wbr 4034   {copab 4094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096

This theorem is referenced by: (None)