Theorem tgclb 12705

Description: The property tgcl 12704 can be reversed: if the topology generated by B is actually a topology, then B must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	|- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 12704	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		df-topgen 12577	. . . . . . . . . . . . 13 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
3	2	funmpt2 5227	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun topGen
4		funrel 5205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Rel topGen
6		0opn 12644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> (/) e. ( topGen ` B ) )
7		relelfvdm 5518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel topGen /\ (/) e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
8	5, 6, 7	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. dom topGen )
9	8	elexd 2739	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. _V )
10		bastg 12701	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B C_ ( topGen ` B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	11	sselda 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. B ) -> x e. ( topGen ` B ) )
13	11	sselda 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ y e. B ) -> y e. ( topGen ` B ) )
14	12, 13	anim12dan 590	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) )
15		inopn 12641	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
16	15	3expb 1194	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
17	14, 16	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
18		tg2 12700	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
19	18	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
20	17, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
21	20	ralrimivva 2548	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
22		isbasis2g 12683	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 166	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. TopBases )
25	1, 24	impbii 125	1 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   ` cfv 5188   topGenctg 12571   Topctop 12635   TopBasesctb 12680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577  df-top 12636  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  bastop2  12724  tgcn  12848  tgcnp  12849