ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgclb Unicode version

Theorem tgclb 12244
Description: The property tgcl 12243 can be reversed: if the topology generated by  B is actually a topology, then 
B must be a topological basis. This yields an alternative definition of  TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 12243 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 df-topgen 12151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  topGen  =  ( x  e.  _V  |->  { y  |  y  C_  U. ( x  i^i  ~P y ) } )
32funmpt2 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  topGen
4 funrel 5140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  topGen  ->  Rel  topGen )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  topGen
6 0opn 12183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  (/)  e.  ( topGen `  B ) )
7 relelfvdm 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  topGen  /\  (/)  e.  (
topGen `  B ) )  ->  B  e.  dom  topGen )
85, 6, 7sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  dom  topGen )
98elexd 2699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  _V )
10 bastg 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1211sselda 3097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
)
1311sselda 3097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
1412, 13anim12dan 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `  B ) ) )
15 inopn 12180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (
topGen `  B ) )
16153expb 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  ( topGen `  B
)  /\  y  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B )
)
1714, 16syldan 280 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B ) )
18 tg2 12239 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1918ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
2017, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
2120ralrimivva 2514 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
22 isbasis2g 12222 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
239, 22syl 14 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
2421, 23mpbird 166 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  TopBases )
251, 24impbii 125 1  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   ` cfv 5123   topGenctg 12145   Topctop 12174   TopBasesctb 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12151  df-top 12175  df-bases 12220
This theorem is referenced by:  bastop2  12263  tgcn  12387  tgcnp  12388
  Copyright terms: Public domain W3C validator