Theorem tgclb 12507

Description: The property tgcl 12506 can be reversed: if the topology generated by B is actually a topology, then B must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	|- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 12506	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		df-topgen 12414	. . . . . . . . . . . . 13 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
3	2	funmpt2 5210	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun topGen
4		funrel 5188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Rel topGen
6		0opn 12446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> (/) e. ( topGen ` B ) )
7		relelfvdm 5501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel topGen /\ (/) e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
8	5, 6, 7	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. dom topGen )
9	8	elexd 2725	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. _V )
10		bastg 12503	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B C_ ( topGen ` B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	11	sselda 3128	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. B ) -> x e. ( topGen ` B ) )
13	11	sselda 3128	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ y e. B ) -> y e. ( topGen ` B ) )
14	12, 13	anim12dan 590	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) )
15		inopn 12443	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
16	15	3expb 1186	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
17	14, 16	syldan 280	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
18		tg2 12502	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
19	18	ralrimiva 2530	. . . . 5 |- ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
20	17, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
21	20	ralrimivva 2539	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
22		isbasis2g 12485	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 166	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. TopBases )
25	1, 24	impbii 125	1 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   U.cuni 3773   dom cdm 4587   Rel wrel 4592   Fun wfun 5165   ` cfv 5171   topGenctg 12408   Topctop 12437   TopBasesctb 12482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-topgen 12414  df-top 12438  df-bases 12483

This theorem is referenced by:  bastop2  12526  tgcn  12650  tgcnp  12651