ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgclb Unicode version

Theorem tgclb 13535
Description: The property tgcl 13534 can be reversed: if the topology generated by  B is actually a topology, then 
B must be a topological basis. This yields an alternative definition of  TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 13534 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 df-topgen 12708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  topGen  =  ( x  e.  _V  |->  { y  |  y  C_  U. ( x  i^i  ~P y ) } )
32funmpt2 5255 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  topGen
4 funrel 5233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  topGen  ->  Rel  topGen )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  topGen
6 0opn 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  (/)  e.  ( topGen `  B ) )
7 relelfvdm 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  topGen  /\  (/)  e.  (
topGen `  B ) )  ->  B  e.  dom  topGen )
85, 6, 7sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  dom  topGen )
98elexd 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  _V )
10 bastg 13531 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1211sselda 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
)
1311sselda 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
1412, 13anim12dan 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `  B ) ) )
15 inopn 13473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (
topGen `  B ) )
16153expb 1204 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  ( topGen `  B
)  /\  y  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B )
)
1714, 16syldan 282 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B ) )
18 tg2 13530 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1918ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
2017, 19syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
2120ralrimivva 2559 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
22 isbasis2g 13515 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
239, 22syl 14 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
2421, 23mpbird 167 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  TopBases )
251, 24impbii 126 1  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    i^i cin 3128    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   dom cdm 4626   Rel wrel 4631   Fun wfun 5210   ` cfv 5216   topGenctg 12702   Topctop 13467   TopBasesctb 13512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-topgen 12708  df-top 13468  df-bases 13513
This theorem is referenced by:  bastop2  13554  tgcn  13678  tgcnp  13679
  Copyright terms: Public domain W3C validator