Theorem tgclb 15089

Description: The property tgcl 15088 can be reversed: if the topology generated by B is actually a topology, then B must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	|- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 15088	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		df-topgen 13591	. . . . . . . . . . . . 13 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
3	2	funmpt2 5411	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun topGen
4		funrel 5389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Rel topGen
6		0opn 15030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> (/) e. ( topGen ` B ) )
7		relelfvdm 5722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel topGen /\ (/) e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
8	5, 6, 7	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. dom topGen )
9	8	elexd 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. _V )
10		bastg 15085	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B C_ ( topGen ` B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	11	sselda 3248	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. B ) -> x e. ( topGen ` B ) )
13	11	sselda 3248	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ y e. B ) -> y e. ( topGen ` B ) )
14	12, 13	anim12dan 608	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) )
15		inopn 15027	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
16	15	3expb 1235	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
17	14, 16	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
18		tg2 15084	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
19	18	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
20	17, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
21	20	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
22		isbasis2g 15069	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. TopBases )
25	1, 24	impbii 126	1 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   U.cuni 3930   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fun wfun 5366   ` cfv 5372   topGenctg 13585   Topctop 15021   TopBasesctb 15066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-topgen 13591  df-top 15022  df-bases 15067

This theorem is referenced by:  bastop2  15108  tgcn  15232  tgcnp  15233