Theorem tgclb 13568

Description: The property tgcl 13567 can be reversed: if the topology generated by B is actually a topology, then B must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	|- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 13567	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		df-topgen 12709	. . . . . . . . . . . . 13 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
3	2	funmpt2 5256	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun topGen
4		funrel 5234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Rel topGen
6		0opn 13509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> (/) e. ( topGen ` B ) )
7		relelfvdm 5548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel topGen /\ (/) e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. dom topGen )
9	8	elexd 2751	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. _V )
10		bastg 13564	. . . . . . . . 9 |- ( B e. _V -> B C_ ( topGen ` B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	11	sselda 3156	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. B ) -> x e. ( topGen ` B ) )
13	11	sselda 3156	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ y e. B ) -> y e. ( topGen ` B ) )
14	12, 13	anim12dan 600	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) )
15		inopn 13506	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
16	15	3expb 1204	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. ( topGen ` B ) /\ y e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
17	14, 16	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) )
18		tg2 13563	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
19	18	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( x i^i y ) e. ( topGen ` B ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
20	17, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. Top /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
21	20	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
22		isbasis2g 13548	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
23	9, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
24	21, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. Top -> B e. TopBases )
25	1, 24	impbii 126	1 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   i^i cin 3129   C_ wss 3130   (/)c0 3423   ~Pcpw 3576   U.cuni 3810   dom cdm 4627   Rel wrel 4632   Fun wfun 5211   ` cfv 5217   topGenctg 12703   Topctop 13500   TopBasesctb 13545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-topgen 12709  df-top 13501  df-bases 13546

This theorem is referenced by:  bastop2  13587  tgcn  13711  tgcnp  13712