Theorem 0opn 11873

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3702	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 3340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 11868	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 417	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	syl5eqelr 2182	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1445   ⊆ wss 3013  ∅c0 3302  ∪ cuni 3675  Topctop 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-uni 3676  df-top 11865

This theorem is referenced by:  0ntop  11874  topgele  11895  istps  11898  topontopn  11903  tgclb  11933  en1top  11945  topcld  11977  ntr0  12002  0nei  12034  restrcl  12035  rest0  12047  mopn0  12290