ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0opn GIF version

Theorem 0opn 12187
Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
0opn (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn
StepHypRef Expression
1 uni0 3763 . 2 ∅ = ∅
2 0ss 3401 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
3 uniopn 12182 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∅ ∈ 𝐽)
42, 3mpan2 421 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
51, 4eqeltrrid 2227 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  wss 3071  c0 3363   cuni 3736  Topctop 12178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-uni 3737  df-top 12179
This theorem is referenced by:  0ntop  12188  topgele  12210  istps  12213  topontopn  12218  tgclb  12248  en1top  12260  topcld  12292  ntr0  12317  0nei  12349  restrcl  12350  rest0  12362  mopn0  12671
  Copyright terms: Public domain W3C validator