Theorem 0opn 14723

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3918	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 3531	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 14718	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2317	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ∪ cuni 3891  Topctop 14714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-uni 3892  df-top 14715

This theorem is referenced by:  0ntop  14724  topgele  14746  istps  14749  topontopn  14754  tgclb  14782  en1top  14794  topcld  14826  ntr0  14851  0nei  14883  restrcl  14884  rest0  14896  mopn0  15205