Theorem 0opn 14797

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3925	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 3535	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 14792	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2319	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ∪ cuni 3898  Topctop 14788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-uni 3899  df-top 14789

This theorem is referenced by:  0ntop  14798  topgele  14820  istps  14823  topontopn  14828  tgclb  14856  en1top  14868  topcld  14900  ntr0  14925  0nei  14957  restrcl  14958  rest0  14970  mopn0  15279