Theorem 0opn 15109

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3962	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 3561	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 15104	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2326	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ∪ cuni 3935  Topctop 15100

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-uni 3936  df-top 15101

This theorem is used by:  0ntop  15110  topgele  15132  istps  15135  topontopn  15140  tgclb  15168  en1top  15180  topcld  15212  ntr0  15237  0nei  15269  restrcl  15270  rest0  15282  mopn0  15591