Theorem restrcl 14346

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	|- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Proof of Theorem restrcl

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 14185	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t A ) )
2		df-rest 12855	. . 3 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
3	2	elmpocl 6115	. 2 |- ( (/) e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   (/)c0 3447   |-> cmpt 4091   ran crn 4661  (class class class)co 5919   ↾_t crest 12853   Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-rest 12855  df-top 14177

This theorem is referenced by:  cnrest2r  14416