Theorem restrcl 12807

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	|- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Proof of Theorem restrcl

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 12644	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t A ) )
2		df-rest 12558	. . 3 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
3	2	elmpocl 6036	. 2 |- ( (/) e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   (/)c0 3409   |-> cmpt 4043   ran crn 4605  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-rest 12558  df-top 12636

This theorem is referenced by:  cnrest2r  12877