Theorem restrcl 12961

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	|- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Proof of Theorem restrcl

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 12798	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t A ) )
2		df-rest 12581	. . 3 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
3	2	elmpocl 6047	. 2 |- ( (/) e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( ( J ↾t A ) e. Top -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   (/)c0 3414   |-> cmpt 4050   ran crn 4612  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579   Topctop 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-rest 12581  df-top 12790

This theorem is referenced by:  cnrest2r  13031