Theorem rest0 15203

Description: The subspace topology induced by the topology J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	|- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem rest0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4255	. . . 4 |- (/) e. _V
2		restval 13576	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
4		in0 3557	. . . . . . 7 |- ( x i^i (/) ) = (/)
5	1	elsn2 3739	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i (/) ) e. { (/) } <-> ( x i^i (/) ) = (/) )
6	4, 5	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( x i^i (/) ) e. { (/) }
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( x i^i (/) ) e. { (/) } )
8	7	fmpttd 5854	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) : J --> { (/) } )
9	8	frnd 5538	. . 3 |- ( J e. Top -> ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) C_ { (/) } )
10	3, 9	eqsstrd 3284	. 2 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) C_ { (/) } )
11		resttop 15194	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
12	1, 11	mpan2 429	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
13		0opn 15030	. . . 4 |- ( ( J ↾t (/) ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
15	14	snssd 3855	. 2 |- ( J e. Top -> { (/) } C_ ( J ↾t (/) ) )
16	10, 15	eqssd 3265	1 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3705   |-> cmpt 4187   ran crn 4770  (class class class)co 6075   ↾_t crest 13570   Topctop 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-top 15022  df-bases 15067

This theorem is referenced by: (None)