Theorem rest0 12720

Description: The subspace topology induced by the topology J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	|- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem rest0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4103	. . . 4 |- (/) e. _V
2		restval 12498	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
4		in0 3438	. . . . . . 7 |- ( x i^i (/) ) = (/)
5	1	elsn2 3604	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i (/) ) e. { (/) } <-> ( x i^i (/) ) = (/) )
6	4, 5	mpbir 145	. . . . . 6 |- ( x i^i (/) ) e. { (/) }
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( x i^i (/) ) e. { (/) } )
8	7	fmpttd 5634	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) : J --> { (/) } )
9	8	frnd 5341	. . 3 |- ( J e. Top -> ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) C_ { (/) } )
10	3, 9	eqsstrd 3173	. 2 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) C_ { (/) } )
11		resttop 12711	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
12	1, 11	mpan2 422	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
13		0opn 12545	. . . 4 |- ( ( J ↾t (/) ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
15	14	snssd 3712	. 2 |- ( J e. Top -> { (/) } C_ ( J ↾t (/) ) )
16	10, 15	eqssd 3154	1 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   |-> cmpt 4037   ran crn 4599  (class class class)co 5836   ↾_t crest 12492   Topctop 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-rest 12494  df-topgen 12513  df-top 12537  df-bases 12582

This theorem is referenced by: (None)