Theorem rest0 12348

Description: The subspace topology induced by the topology J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	|- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem rest0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4055	. . . 4 |- (/) e. _V
2		restval 12126	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
4		in0 3397	. . . . . . 7 |- ( x i^i (/) ) = (/)
5	1	elsn2 3559	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i (/) ) e. { (/) } <-> ( x i^i (/) ) = (/) )
6	4, 5	mpbir 145	. . . . . 6 |- ( x i^i (/) ) e. { (/) }
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( x i^i (/) ) e. { (/) } )
8	7	fmpttd 5575	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) : J --> { (/) } )
9	8	frnd 5282	. . 3 |- ( J e. Top -> ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) C_ { (/) } )
10	3, 9	eqsstrd 3133	. 2 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) C_ { (/) } )
11		resttop 12339	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
12	1, 11	mpan2 421	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
13		0opn 12173	. . . 4 |- ( ( J ↾t (/) ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
15	14	snssd 3665	. 2 |- ( J e. Top -> { (/) } C_ ( J ↾t (/) ) )
16	10, 15	eqssd 3114	1 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   |-> cmpt 3989   ran crn 4540  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12120   Topctop 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-top 12165  df-bases 12210

This theorem is referenced by: (None)