ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rest0 Unicode version

Theorem rest0 12374
Description: The subspace topology induced by the topology  J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )

Proof of Theorem rest0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4058 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 restval 12152 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
31, 2mpan2 421 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  ran  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) )
4 in0 3397 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
51elsn2 3561 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( x  i^i  (/) )  =  (/) )
64, 5mpbir 145 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  (/) )  e.  { (/)
}
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( x  i^i  (/) )  e. 
{ (/) } )
87fmpttd 5578 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) : J --> { (/) } )
98frnd 5285 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  (/) ) ) 
C_  { (/) } )
103, 9eqsstrd 3133 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  C_  { (/) } )
11 resttop 12365 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
121, 11mpan2 421 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  e.  Top )
13 0opn 12199 . . . 4  |-  ( ( Jt  (/) )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  ( Jt  (/) ) )
1514snssd 3668 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  { (/) } 
C_  ( Jt  (/) ) )
1610, 15eqssd 3114 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  (/) )  =  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527    |-> cmpt 3992   ran crn 4543  (class class class)co 5777   ↾t crest 12146   Topctop 12190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-top 12191  df-bases 12236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator