Theorem rest0 14868

Description: The subspace topology induced by the topology J on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	|- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem rest0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. . . 4 |- (/) e. _V
2		restval 13293	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) )
4		in0 3526	. . . . . . 7 |- ( x i^i (/) ) = (/)
5	1	elsn2 3700	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i (/) ) e. { (/) } <-> ( x i^i (/) ) = (/) )
6	4, 5	mpbir 146	. . . . . 6 |- ( x i^i (/) ) e. { (/) }
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( x i^i (/) ) e. { (/) } )
8	7	fmpttd 5792	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) : J --> { (/) } )
9	8	frnd 5483	. . 3 |- ( J e. Top -> ran ( x e. J |-> ( x i^i (/) ) ) C_ { (/) } )
10	3, 9	eqsstrd 3260	. 2 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) C_ { (/) } )
11		resttop 14859	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. _V ) -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
12	1, 11	mpan2 425	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) e. Top )
13		0opn 14695	. . . 4 |- ( ( J ↾t (/) ) e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. Top -> (/) e. ( J ↾t (/) ) )
15	14	snssd 3813	. 2 |- ( J e. Top -> { (/) } C_ ( J ↾t (/) ) )
16	10, 15	eqssd 3241	1 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ran crn 4720  (class class class)co 6007   ↾_t crest 13287   Topctop 14686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-top 14687  df-bases 14732

This theorem is referenced by: (None)