Theorem topontopn 15061

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
topontopn	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 15038	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
2		tsetslid 13519	. . . . . 6 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotslfn 13356	. . . . 5 |- TopSet Fn _V
4		fnrel 5474	. . . . 5 |- (TopSet Fn _V -> Rel TopSet )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel TopSet
6		0opn 15030	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
7		tsettps.j	. . . . 5 |- J = (TopSet ` K )
8	6, 7	eleqtrdi 2331	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. (TopSet ` K ) )
9		relelfvdm 5722	. . . 4 |- ( ( Rel TopSet /\ (/) e. (TopSet ` K ) ) -> K e. dom TopSet )
10	5, 8, 9	sylancr 418	. . 3 |- ( J e. Top -> K e. dom TopSet )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. dom TopSet )
12		toponuni 15039	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = U. J )
13		eqimss2 3303	. . . 4 |- ( A = U. J -> U. J C_ A )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> U. J C_ A )
15		sspwuni 4092	. . 3 |- ( J C_ ~P A <-> U. J C_ A )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J C_ ~P A )
17		tsettps.a	. . 3 |- A = ( Base ` K )
18	17, 7	topnidg 13583	. 2 |- ( ( K e. dom TopSet /\ J C_ ~P A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
19	11, 16, 18	syl2anc 415	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   U.cuni 3930   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   Fn wfn 5367   ` cfv 5372   Basecbs 13330  TopSetcts 13414   TopOpenctopn 13571   Topctop 15021  TopOnctopon 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573  df-top 15022  df-topon 15035

This theorem is referenced by:  tsettps  15062  cnfldms  15560  cnfldtopn  15563