Theorem topontopn 12044

Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
topontopn	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 12021	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
2		tsetslid 11949	. . . . . 6 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotslfn 11825	. . . . 5 |- TopSet Fn _V
4		fnrel 5179	. . . . 5 |- (TopSet Fn _V -> Rel TopSet )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- Rel TopSet
6		0opn 12013	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
7		tsettps.j	. . . . 5 |- J = (TopSet ` K )
8	6, 7	syl6eleq 2207	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. (TopSet ` K ) )
9		relelfvdm 5407	. . . 4 |- ( ( Rel TopSet /\ (/) e. (TopSet ` K ) ) -> K e. dom TopSet )
10	5, 8, 9	sylancr 408	. . 3 |- ( J e. Top -> K e. dom TopSet )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. dom TopSet )
12		toponuni 12022	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = U. J )
13		eqimss2 3118	. . . 4 |- ( A = U. J -> U. J C_ A )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> U. J C_ A )
15		sspwuni 3863	. . 3 |- ( J C_ ~P A <-> U. J C_ A )
16	14, 15	sylibr 133	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J C_ ~P A )
17		tsettps.a	. . 3 |- A = ( Base ` K )
18	17, 7	topnidg 11973	. 2 |- ( ( K e. dom TopSet /\ J C_ ~P A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
19	11, 16, 18	syl2anc 406	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   (/)c0 3329   ~Pcpw 3476   U.cuni 3702   dom cdm 4499   Rel wrel 4504   Fn wfn 5076   ` cfv 5081   Basecbs 11799  TopSetcts 11867   TopOpenctopn 11961   Topctop 12004  TopOnctopon 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1re 7636  ax-addrcl 7639

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-5 8689  df-6 8690  df-7 8691  df-8 8692  df-9 8693  df-ndx 11802  df-slot 11803  df-base 11805  df-tset 11880  df-rest 11962  df-topn 11963  df-top 12005  df-topon 12018

This theorem is referenced by:  tsettps  12045