Theorem topontopn 14542

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
topontopn	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14519	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
2		tsetslid 13053	. . . . . 6 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotslfn 12891	. . . . 5 |- TopSet Fn _V
4		fnrel 5373	. . . . 5 |- (TopSet Fn _V -> Rel TopSet )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel TopSet
6		0opn 14511	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
7		tsettps.j	. . . . 5 |- J = (TopSet ` K )
8	6, 7	eleqtrdi 2298	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. (TopSet ` K ) )
9		relelfvdm 5610	. . . 4 |- ( ( Rel TopSet /\ (/) e. (TopSet ` K ) ) -> K e. dom TopSet )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( J e. Top -> K e. dom TopSet )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. dom TopSet )
12		toponuni 14520	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = U. J )
13		eqimss2 3248	. . . 4 |- ( A = U. J -> U. J C_ A )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> U. J C_ A )
15		sspwuni 4012	. . 3 |- ( J C_ ~P A <-> U. J C_ A )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J C_ ~P A )
17		tsettps.a	. . 3 |- A = ( Base ` K )
18	17, 7	topnidg 13117	. 2 |- ( ( K e. dom TopSet /\ J C_ ~P A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   dom cdm 4676   Rel wrel 4681   Fn wfn 5267   ` cfv 5272   Basecbs 12865  TopSetcts 12948   TopOpenctopn 13105   Topctop 14502  TopOnctopon 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-tset 12961  df-rest 13106  df-topn 13107  df-top 14503  df-topon 14516

This theorem is referenced by:  tsettps  14543  cnfldms  15041  cnfldtopn  15044