ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topontopn Unicode version

Theorem topontopn 14022
Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
tsettps.j  |-  J  =  (TopSet `  K )
Assertion
Ref Expression
topontopn  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 topontop 13999 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  e.  Top )
2 tsetslid 12710 . . . . . 6  |-  (TopSet  = Slot  (TopSet `  ndx )  /\  (TopSet `  ndx )  e.  NN )
32slotslfn 12549 . . . . 5  |- TopSet  Fn  _V
4 fnrel 5336 . . . . 5  |-  (TopSet  Fn  _V  ->  Rel TopSet )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel TopSet
6 0opn 13991 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
7 tsettps.j . . . . 5  |-  J  =  (TopSet `  K )
86, 7eleqtrdi 2282 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (TopSet `  K ) )
9 relelfvdm 5569 . . . 4  |-  ( ( Rel TopSet  /\  (/)  e.  (TopSet `  K ) )  ->  K  e.  dom TopSet )
105, 8, 9sylancr 414 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  K  e.  dom TopSet )
111, 10syl 14 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  dom TopSet )
12 toponuni 14000 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  U. J )
13 eqimss2 3225 . . . 4  |-  ( A  =  U. J  ->  U. J  C_  A )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  U. J  C_  A )
15 sspwuni 3989 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P A  <->  U. J  C_  A )
1614, 15sylibr 134 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  C_  ~P A )
17 tsettps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
1817, 7topnidg 12768 . 2  |-  ( ( K  e.  dom TopSet  /\  J  C_ 
~P A )  ->  J  =  ( TopOpen `  K ) )
1911, 16, 18syl2anc 411 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   (/)c0 3437   ~Pcpw 3593   U.cuni 3827   dom cdm 4647   Rel wrel 4652    Fn wfn 5233   ` cfv 5238   Basecbs 12523  TopSetcts 12606   TopOpenctopn 12756   Topctop 13982  TopOnctopon 13995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-tset 12619  df-rest 12757  df-topn 12758  df-top 13983  df-topon 13996
This theorem is referenced by:  tsettps  14023
  Copyright terms: Public domain W3C validator