ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topontopn Unicode version

Theorem topontopn 12044
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
tsettps.j  |-  J  =  (TopSet `  K )
Assertion
Ref Expression
topontopn  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 topontop 12021 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  e.  Top )
2 tsetslid 11949 . . . . . 6  |-  (TopSet  = Slot  (TopSet `  ndx )  /\  (TopSet `  ndx )  e.  NN )
32slotslfn 11825 . . . . 5  |- TopSet  Fn  _V
4 fnrel 5179 . . . . 5  |-  (TopSet  Fn  _V  ->  Rel TopSet )
53, 4ax-mp 7 . . . 4  |-  Rel TopSet
6 0opn 12013 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
7 tsettps.j . . . . 5  |-  J  =  (TopSet `  K )
86, 7syl6eleq 2207 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (TopSet `  K ) )
9 relelfvdm 5407 . . . 4  |-  ( ( Rel TopSet  /\  (/)  e.  (TopSet `  K ) )  ->  K  e.  dom TopSet )
105, 8, 9sylancr 408 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  K  e.  dom TopSet )
111, 10syl 14 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  dom TopSet )
12 toponuni 12022 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  U. J )
13 eqimss2 3118 . . . 4  |-  ( A  =  U. J  ->  U. J  C_  A )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  U. J  C_  A )
15 sspwuni 3863 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P A  <->  U. J  C_  A )
1614, 15sylibr 133 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  C_  ~P A )
17 tsettps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
1817, 7topnidg 11973 . 2  |-  ( ( K  e.  dom TopSet  /\  J  C_ 
~P A )  ->  J  =  ( TopOpen `  K ) )
1911, 16, 18syl2anc 406 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2657    C_ wss 3037   (/)c0 3329   ~Pcpw 3476   U.cuni 3702   dom cdm 4499   Rel wrel 4504    Fn wfn 5076   ` cfv 5081   Basecbs 11799  TopSetcts 11867   TopOpenctopn 11961   Topctop 12004  TopOnctopon 12017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1re 7636  ax-addrcl 7639
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-5 8689  df-6 8690  df-7 8691  df-8 8692  df-9 8693  df-ndx 11802  df-slot 11803  df-base 11805  df-tset 11880  df-rest 11962  df-topn 11963  df-top 12005  df-topon 12018
This theorem is referenced by:  tsettps  12045
  Copyright terms: Public domain W3C validator