ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topontopn Unicode version

Theorem topontopn 13428
Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
tsettps.j  |-  J  =  (TopSet `  K )
Assertion
Ref Expression
topontopn  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 topontop 13405 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  e.  Top )
2 tsetslid 12637 . . . . . 6  |-  (TopSet  = Slot  (TopSet `  ndx )  /\  (TopSet `  ndx )  e.  NN )
32slotslfn 12482 . . . . 5  |- TopSet  Fn  _V
4 fnrel 5314 . . . . 5  |-  (TopSet  Fn  _V  ->  Rel TopSet )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  Rel TopSet
6 0opn 13397 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
7 tsettps.j . . . . 5  |-  J  =  (TopSet `  K )
86, 7eleqtrdi 2270 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (TopSet `  K ) )
9 relelfvdm 5547 . . . 4  |-  ( ( Rel TopSet  /\  (/)  e.  (TopSet `  K ) )  ->  K  e.  dom TopSet )
105, 8, 9sylancr 414 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  K  e.  dom TopSet )
111, 10syl 14 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  dom TopSet )
12 toponuni 13406 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  U. J )
13 eqimss2 3210 . . . 4  |-  ( A  =  U. J  ->  U. J  C_  A )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  U. J  C_  A )
15 sspwuni 3971 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P A  <->  U. J  C_  A )
1614, 15sylibr 134 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  C_  ~P A )
17 tsettps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
1817, 7topnidg 12691 . 2  |-  ( ( K  e.  dom TopSet  /\  J  C_ 
~P A )  ->  J  =  ( TopOpen `  K ) )
1911, 16, 18syl2anc 411 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   (/)c0 3422   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   dom cdm 4626   Rel wrel 4631    Fn wfn 5211   ` cfv 5216   Basecbs 12456  TopSetcts 12536   TopOpenctopn 12679   Topctop 13388  TopOnctopon 13401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-tset 12549  df-rest 12680  df-topn 12681  df-top 13389  df-topon 13402
This theorem is referenced by:  tsettps  13429
  Copyright terms: Public domain W3C validator