Theorem topontopn 14182

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
topontopn	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14159	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
2		tsetslid 12795	. . . . . 6 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotslfn 12634	. . . . 5 |- TopSet Fn _V
4		fnrel 5344	. . . . 5 |- (TopSet Fn _V -> Rel TopSet )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel TopSet
6		0opn 14151	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
7		tsettps.j	. . . . 5 |- J = (TopSet ` K )
8	6, 7	eleqtrdi 2286	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. (TopSet ` K ) )
9		relelfvdm 5578	. . . 4 |- ( ( Rel TopSet /\ (/) e. (TopSet ` K ) ) -> K e. dom TopSet )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( J e. Top -> K e. dom TopSet )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. dom TopSet )
12		toponuni 14160	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = U. J )
13		eqimss2 3234	. . . 4 |- ( A = U. J -> U. J C_ A )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> U. J C_ A )
15		sspwuni 3997	. . 3 |- ( J C_ ~P A <-> U. J C_ A )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J C_ ~P A )
17		tsettps.a	. . 3 |- A = ( Base ` K )
18	17, 7	topnidg 12853	. 2 |- ( ( K e. dom TopSet /\ J C_ ~P A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   dom cdm 4655   Rel wrel 4660   Fn wfn 5241   ` cfv 5246   Basecbs 12608  TopSetcts 12691   TopOpenctopn 12841   Topctop 14142  TopOnctopon 14155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1re 7956  ax-addrcl 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-tset 12704  df-rest 12842  df-topn 12843  df-top 14143  df-topon 14156

This theorem is referenced by:  tsettps  14183