Theorem topontopn 14848

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	|- A = ( Base ` K )
tsettps.j	|- J = (TopSet ` K )

Assertion

Ref	Expression
topontopn	|- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14825	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
2		tsetslid 13351	. . . . . 6 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotslfn 13188	. . . . 5 |- TopSet Fn _V
4		fnrel 5435	. . . . 5 |- (TopSet Fn _V -> Rel TopSet )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- Rel TopSet
6		0opn 14817	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
7		tsettps.j	. . . . 5 |- J = (TopSet ` K )
8	6, 7	eleqtrdi 2324	. . . 4 |- ( J e. Top -> (/) e. (TopSet ` K ) )
9		relelfvdm 5680	. . . 4 |- ( ( Rel TopSet /\ (/) e. (TopSet ` K ) ) -> K e. dom TopSet )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( J e. Top -> K e. dom TopSet )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. dom TopSet )
12		toponuni 14826	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> A = U. J )
13		eqimss2 3283	. . . 4 |- ( A = U. J -> U. J C_ A )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> U. J C_ A )
15		sspwuni 4060	. . 3 |- ( J C_ ~P A <-> U. J C_ A )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J C_ ~P A )
17		tsettps.a	. . 3 |- A = ( Base ` K )
18	17, 7	topnidg 13415	. 2 |- ( ( K e. dom TopSet /\ J C_ ~P A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J = ( TopOpen ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   Basecbs 13162  TopSetcts 13246   TopOpenctopn 13403   Topctop 14808  TopOnctopon 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-tset 13259  df-rest 13404  df-topn 13405  df-top 14809  df-topon 14822

This theorem is referenced by:  tsettps  14849  cnfldms  15347  cnfldtopn  15350