Theorem istps 13617

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	|- A = ( Base ` K )
istps.j	|- J = ( TopOpen ` K )

Assertion

Ref	Expression
istps	|- ( K e. TopSp <-> J e. (TopOn ` A ) )

Proof of Theorem istps

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topsp 13616	. . 3 |- TopSp = { f | ( TopOpen ` f ) e. (TopOn ` ( Base ` f ) ) }
2	1	eleq2i 2244	. 2 |- ( K e. TopSp <-> K e. { f | ( TopOpen ` f ) e. (TopOn ` ( Base ` f ) ) } )
3		topontop 13599	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> J e. Top )
4		topnfn 12698	. . . . . . 7 |- TopOpen Fn _V
5		fnrel 5316	. . . . . . 7 |- ( TopOpen Fn _V -> Rel TopOpen )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel TopOpen
7		0opn 13591	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
8		istps.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` K )
9	7, 8	eleqtrdi 2270	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> (/) e. ( TopOpen ` K ) )
10		relelfvdm 5549	. . . . . 6 |- ( ( Rel TopOpen /\ (/) e. ( TopOpen ` K ) ) -> K e. dom TopOpen )
11	6, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( J e. Top -> K e. dom TopOpen )
12	11	elexd 2752	. . . 4 |- ( J e. Top -> K e. _V )
13	3, 12	syl 14	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. _V )
14		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( f = K -> ( TopOpen ` f ) = ( TopOpen ` K ) )
15	14, 8	eqtr4di 2228	. . . 4 |- ( f = K -> ( TopOpen ` f ) = J )
16		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = ( Base ` K ) )
17		istps.a	. . . . . 6 |- A = ( Base ` K )
18	16, 17	eqtr4di 2228	. . . . 5 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = A )
19	18	fveq2d 5521	. . . 4 |- ( f = K -> (TopOn ` ( Base ` f ) ) = (TopOn ` A ) )
20	15, 19	eleq12d 2248	. . 3 |- ( f = K -> ( ( TopOpen ` f ) e. (TopOn ` ( Base ` f ) ) <-> J e. (TopOn ` A ) ) )
21	13, 20	elab3 2891	. 2 |- ( K e. { f | ( TopOpen ` f ) e. (TopOn ` ( Base ` f ) ) } <-> J e. (TopOn ` A ) )
22	2, 21	bitri 184	1 |- ( K e. TopSp <-> J e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2739   (/)c0 3424   dom cdm 4628   Rel wrel 4633   Fn wfn 5213   ` cfv 5218   Basecbs 12464   TopOpenctopn 12694   Topctop 13582  TopOnctopon 13595   TopSpctps 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-tset 12557  df-rest 12695  df-topn 12696  df-top 13583  df-topon 13596  df-topsp 13616

This theorem is referenced by:  istps2  13618  tpspropd  13621  tsettps  13623  isxms2  14037